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1、2008年第10期5●数学活动课程讲座●完全平方数(上)冯跃峰(广东省深圳市高级中学,518040)(本讲适合初中)综上所述,满足条件的一切正整数对完全平方数是一类常见的特殊自然数.(x,y)共有5+22=27对.2本文介绍涉及完全平方数的问题的常用解题例2设完全平方数y是11个相继整方法.数的平方和.则
2、y
3、的最小值是.解:设11个相继整数中间的一个数为1利用完全平方数的因数特征x.则2222完全平方数的因数具有如下特征:y=(x-5)+(x-4)+⋯+x+⋯+222(1)n的标准分解式中,每个质因数的(
4、x+4)+(x+5)2222222指数都是偶数.=x+2(x+1)+2(x+2)+⋯+2(x+5)22222222(2)若n=ab(a、b是整数)为完全平=11x+2(1+2+3+4+5)2方数,则b为完全平方数.=11(x+10).22(3)若n=ab(a、b是互质的整数)为完因为11(x+10)为平方数,而11为质2全平方数,则a、b都为完全平方数.数,所以,11
5、(x+10).22≥例1设N=23x+92y为完全平方数,从而,x+10≥11,即x1.且N不超过2392.则满足上述条件的一切故y2=11
6、(x2+10)≥112,即
7、y
8、≥11.正整数对(x,y)共有对.等号在x2=1时成立.(2002,全国初中数学联赛)故
9、y
10、的最小值为11.分析:注意到23
11、92,从而,23x+92y含注:此题改编自1998年全国初中数学联有质因数23.由此可构造不定方程,进而利赛试题.原题是求y的最小值,但用它作为用不等式控制(N不超过2392)求解.初中数学竞赛试题则值得商榷.尽管已得到解:因为N=23(x+4y),而23为质数,
12、y
13、≥11,即y≤-11或y≥11,由此断定y2所以,存在正整数k,使x+4y=23k
14、.的最小值是-11(原答案)是没有充足理又因为23(x+4y)=N≤2392,所以,由的.22x+4y≤104.实际上,由y=11(x+10)为平方数,可22知x2+10=11k2(k∈N),此时,y=±11k.故23k=x+4y≤104,即k≤4.+222于是,k=1,4.若方程x+10=11k只有有限个整数解,设当k2=1时,x+4y=23,此时,y≤5,可其使k最大的一个解为(x0,k0),则y的最22得到5个解;小值为-11k0;若方程x+10=11k有无限2个整数解,则y的最小值不存在.显然,讨论
15、当k=4时,x+4y=92,此时,y≤22,22可得到22个解.方程x+10=11k的所有整数解的问题,超出了初中数学竞赛的知识范畴.收稿日期:2008-05-306中等数学22此外,方程x+10=11k两边模11,得舍去.2211
16、(x+10),从而,11
17、(x-1).(4)当k>2,且k为偶数时,因为a=所以,11
18、(x-1)或11
19、(x+1).k(511-9k)kk=(511-9k)为质数,而>当11
20、(x-1)时,取x=23符合条件,此222时,k=7,对应的y=±77.1,所以,511-9k=1.
21、但511-9k=1无整数当11
22、(x+1)时,取x=43符合条件,此解,舍去.时,k=13,对应的y=±143.综上所述,a=251,b=7.由此可见,ymin=-11显然是错误的.注:此解答是由笔者的学生杨杰锋给出例3设a为质数,b为正整数,且的,比“评分标准”中的解答简单得多.29(2a+b)=509(4a+511b).2利用完全平方数的数字特征求a、b的值.2(2008,全国初中数学联赛)在完全平方数n的十进制表达式中,其分析:由条件“a为质数”可发现题中含数字具有如下一些特征:2有另一质数509,而
23、等式左边为平方数,可利(1)n的个位数字为0、1、4、5、6、9.22用完全平方数的因数特征求解.(2)n的十位数字为奇数,当且仅当n222的个位数字为6.解:因为9(2a+b)=3(2a+b)为完22全平方数,所以,509(4a+511b)为完全平方(3)n的个位数字为5,则n的十位数数.而509为质数,可令字为2.22上述特征可概括为:完全平方数的末两4a+511b=509×3k.①于是,原等式变为位只能是偶0、偶1、偶4、偶9、25、奇6之一.2222例9(2a+b)=509×3k,4如果一个完全平方
24、数最后3位数即2a+b=509k.字相同且不为0,求该数的最小值.从而,b=509k-2a.代入式①得解:因为完全平方数的末两位只能是224a+511(509k-2a)=509×3k.偶0、偶1、偶4、偶9、25、奇6之一,所以,完全k(511-9k)平方数的末三位只能是444.又444不是平方解得a=.22数,所以,n≥1444.而1444=38为完全平k(511-9k)因为a为质数,即为质数,方数,故最小的完
