反向思考的几种数学方法

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1、#$中等数学!命题与解题!反向思考的几种数学方法崔金兴(山东省安丘市北关中学,!"!#$$)对立统一规律是辩证唯物主义的根本规$%$!&$%,$%$.’律,反向思考就是从对立中认识事物的一种设"*($(%)!+$!+%!!思维方式’#!+#!!+!!*/!$%(/!$%(⋯在数学竞赛中,反向思考的重要性尤为!+#!+#,(/!$%突出,反证法、分析法都是重要的基本方法’则"#!+#!!!+!!*/!$%(/!$%(⋯另外,倒放法、倒推法、淘汰法也均来源于反!+#!+#向思考,有时起着不可替代的作用’(/!$%,#($%!+#!+#

2、!倒放法!"!*/!($%)!($!!+!!+!!)(⋯将问题中式子的顺序“倒”过来放置’(/!%($%例!设!#"’证明:#!$$#!$$#!+#($!+#!+#)(!((/!%($%!$$#!$$#不能被!(!整除’)(⋯(!!(/#!⋯(/!+#)$!&($%)!(/!(!证明:设"!$$#!$$#!$$#,!*#(!(⋯(!$!!(#(!!+!)’则"!$$#!$$#!$$#〕!*〔!((!+#)(⋯(!!(!!0"!$!+!),!$$#,(#即($(%)!!!!!!(#+$+%$!+!’!$$#!$$#)(〔)!$$#!

3、"!*!((!(!((!+#倒推!$$#〕(⋯((!!$$#!$$#)’#)(!将问题发生的顺序倒过来进行推理,逐当##",#$!时,步还原’!$$#!$$#能被#((!(!+#((!(!+#)例$设有!个球,甲乙二人做轮流取#)整除,即能被!(!整除’球游戏,每人一次,可随意取#个或!个,但故当!$!时,!"被!(!除的余数为!不准不拿,谁取得最后一个谁败’规定甲先!,即"!不能被!(!整除’取,甲乙的胜败情况如何?又"#*#不能被)整除’结论成立’解:由于失败者最后只有一个球,在倒数例#设$、%为正实数,#(#*#’试第二次取

4、球时,球数必为)个或!个’因此,$%只要球数剩下.个,先取者必败’证:对每一个自然数!,有因此,当!*)#(#(##")时,甲必败’!!!!!!(#($(%)+$+%$!+!’此时乙可采取如下策略:甲取#个(或!个),(#,--,全国高中数学联赛)则乙接着取!个(或#个),保证余下的球是##证明:由(*#得$%*$(%’)的倍加#’轮轮如此,最终必出现只剩.$%个球的情形’而甲先取,故甲必败’又$%$,%%$,故$(%$!&$%,即当!*)#(或)#(!)时,甲先取!个(或"本文收稿日期:!$$$%$&%#"#个),使留下来的球是

5、)的倍加#,则乙代%++"年第*期""替了上述情况中的甲,故乙必败!数?例!运动会开了!天(!!"),发出"解:用质数%、*、,、$、""、"*⋯等试验知*个奖牌!第一天发出"个加上余下的"#"符合要求,下面用淘汰法证明除*以外,别无个的",第二天发出%个加上余下的",如此质数满足要求!$$将自然数分成三类:*!,*!&",*!&%继续,最后第!天恰好把余下的奖牌发完!(!""),问运动会开了几天?共发了多少奖牌?-*!&"&%+’*(!&$)是合数,解:设运动会开了#天后剩下$个奖牌#*!&%&"(’*(!&()是合数,(#""

6、,#!"),则第#天发出的奖牌数为因而形如*!&"和形如*!&%的数加""(#&($##"##)’$##"&#,上"(和%+后不全是质数!$$$"(在剩下的形如*!的数中,显然除*以$#’$##"#($##"&#),$$外,当!!"时均为合数!即$$$#&#(#"",#!")!故符合条件的质数只有*!##"’(例%求曲线.$’%%&,%&%(+%%%$"’"&$(",+)上的整点!$$解:问题即求曲线上整点的坐标!’"&(%&$%)((%&,%&%显然$’%(+%%%,+)!%$$$.’"&)%&()(*&$*)(((将整数%分为

7、四类:.!、.!&"、.!&%%*$$$’"&%)&*()&()$*(!’+,",%,⋯,"%)、.!&*(!’+,",%,⋯,(((""),用淘汰法进行讨论!’⋯⋯$$%当%’.!时,$’.!%";&,!&’"&%)&*()&⋯%((当%’.!&"时,$’.!%!#"!&$!&%;$$&!(()&(()$!!当%’.!&%时,$’.!%&/!&.;由$,得!’+当%’.!&*时,$’.!%"*&""!&!%!#"%$$$"’"&%)&*()&⋯&!()当%为.!和.!&*时$均不是整数,(((!故所求整点为(.!%(!#()$&

8、$!&%,.!&")和’!#"&*(!((.!%&/!&.,.!&%)(!’+,",%,⋯,"%)!因!!",#!#(#$(!#",$!与(!#"互例&不能写成两个奇合数之和的最大质,故!’(,"’*(!偶数是多少?运动会开了(天,共发了*(个奖牌

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