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1、第08卷第4期中国水运Vol.8No.42008年4月ChinaWaterTransportApril2008浅析灵敏度分析的几种数学方法韩林山，李向阳，严大考（华北水利水电学院，河南郑州450011）摘要：本文讨论了局部灵敏度分析和全局灵敏度分析这两种数学方法，对它们的优缺点和使用范围进行了比较，为以后做灵敏度分析奠定了基础。关键词：局部灵敏度；全局灵敏度；数学方法；灵敏度分析中图分类号：F224.0文献标识码：A文章编号：1006-7973（2008）04-0177-02随着现代工业的迅速发展，对工业设备的精度提出
2、了更灵敏度矩阵S的解，需要先求得矩阵J和F的值。而矩阵的高的要求。但是，由于制造误差、轴承间隙、弹性变形等因值又是由系统变量的真实值确定，因此，需同时或预先求得素的影响，不可避免地会对设备的精度产生一定的影响。因（1）方程的解。此我们就有必要建立起一个数学模型并且应用恰当的分析方对于非时变（静止）系统，将其代数方程fyx0(,)=，式s法来研究上述的各种误差对精度的影响关系，找出影响最大中，Y是n维输出变量，X是m维输入因素。令y表示隐的因素，作为我们在实际的制造和装配过程中进行误差分配，性代数方程式的解。对输入因素x
3、j求导数，得到下面的灵敏降低生产成本，提高传动精度的理论依据。这里就可以采用度公式：灵敏度分析的方法。它主要包括局部灵敏度分析方法和全局s−1SJ=−F（4）灵敏度分析方法。s式中，S称为静态灵敏度矩阵，J和F由静态点的变量值一、局部灵敏度分析方法计算。对于变量少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推出局部法主要分析因素对模型的局部影响（如某点）。局部的系统，直接法是一个简单快速的灵敏度分析方法。法可以得到参数对输出的梯度，这一数值是许多领域研究中2．有限差分法所需要的重要数据。局部法主要应用于数学表达式比较简单，局部灵敏
4、度最简单的计算方法是有限差分法，其基本做灵敏度微分方程较易推出，不确定因素较少的系统模型中。法是使设计变量有一个微小的摄动∆xj，用差分格式来计算主要包括直接求导法、有限差分法、格林函数法。输出对设计变量的近似导数。其中比较简单的是采用向前差1．直接求导法分格式对于输入因素个数少、结构不复杂、灵敏度微分方程较j∂−yyxyx()()≈=,1j,2,",m（5）易推导的系统或模型，直接法是一种简单快速的灵敏度分析∂∆xxjj方法。时变（非静止）系统可以用微分或微分-代数方程进行xj=+(,,,,xxxxx""∆,,,)x
5、x，截断误差式中12jjjj−+11m描述。假设要考虑的初值问题是与∆xj同阶。有时采用更为精确的中心差分公式dyfyx(,)=，yy(0)=0（1）∂−yyxyx()()jj+−dt≈=,1jm,2,",（6）0∂∆xx2同样，y代表n维输出变量，x代表m维输入因素。yjjj+代表初值数组。而x=+(,,,,x12xxxx""jjjj−+1∆,,,)xx1m，j−x=−(,,,,xxxxx""∆,,,)xx式（1）对输入因素xj微分得到下述的灵敏度微分方程12jjjj−+11md∂∂∂yyf2中心差分法的截断误差与∆
6、x同阶。虽然中心差分公式比=+J（2）jdtx∂∂∂xxjjj向前差分公式精度高，但在求解每一个导数时需要求一次函i或以矩阵形式表示为SJ=+SF（3）数值，这意味着多做一次结构分析，增加了计算工作量。⎧⎫∂f3．格林函数法J=⎨⎬i式中，⎩⎭∂y是系统代数-微分方程右边对系统输出变量0l微分方程（1）关于初始值y的方程为⎧⎪∂f⎫⎪dF=⎨i⎬是对输入因素的导数，的导数（可称为雅可比矩阵），⎪∂x⎪XJ(,)tt11=()(,)tXtt（7）dt⎩⎭j也可称为参数雅可比。微分方程（2）的初始条件为零向量。上式中，t1
7、，t分别表示摄动时间和观测时间，X表示灵上述的直接法建立在微分方程（2）的基础上，要得到其敏度矩阵，即收稿日期：2008-02-25作者简介：韩林山男（1964-）华北水利水电学院教授（450011）李向阳男（1984-）华北水利水电学院硕士研究生（450011）178中国水运第08卷11⎧⎫⎪⎪∂ct()D=""f2xx,,,xdxdx"dx1≤<≤i"ik（18）XX(,)tt==⎨⎬i,(,)tt1,tt≥ii12,,,""iss∫∫00ii12,,,i(i1i2is)i1i2is()1s11⎪⎪∂ct0()11
8、（8）⎩⎭j1把式（11）平方并在整个Ωk内积分，结合式（13）可得格林函数法的基本思路是，要求得灵敏度矩阵，就要借总方差与各阶偏方差的关系：总方差等于各阶偏方差之和。即助式（2）或式（2）非齐次线性微分方程求得通解，而非齐kDD=+∑∑iiDDj+"+1,2,,"k（19）次微分方程的通解是由其对应的齐次方程的通解和非齐次方ii
