求解物理极值问题几种数学方法

《求解物理极值问题几种数学方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、求解物理极值问题几种数学方法1.利用抛物线顶点坐标公式或判别式求极值一元二次函数y二Ax2+Bx+C的图像为抛物线，顶点坐标为x=-BD2A,y=4ac—b2D4a.若A>0,开口向上，则存在最小值；若AO,b>0）,在区间（一+°°）上的图像是如图6所示的异形双曲线，其渐近线方程为尸ax和y=bDx.由均值不等式c+dD2Mcd可知，当且仅当ax=bDx,即x=±bDa时,函数y取极值为±2ab.函数在第一象限的单调性为，在区间（0,bDa］上是减函数；在区间［bDa,+°°）上是增函数.例4某列车允许的最大加速度为am,最大速度为vm,设在水平

2、直线上的甲乙两站相距为s,试求列车从甲站出发到乙站停止，所用的最短时间是多少？解析设列车加速的加速度为al,匀速运动的速度为v,减速运动的加速度大小为a2,加速运动的时间为tl=vDal,位移为sl=v2D2al；减速运动的时间为t2=vDa2,位移为s2=v2D2a2；则匀速运动的时间为t3=s—sl—s2Dv=sDv—vD2al—vD2a2,所以总时间为t3=sDv+lD2（vDal+vDa2）,可知当al=a2=am时，t有最小值,则t3=vDam+sDv,t—v图像如图7所示.(1)若vm2sam,则曲线顶点为最小值，tmin=2ab=2s

3、Dam,此时v=sam；(2)若vm

4、大，可知此时电场强度方向与水平方向夹角即细线与竖直方向夹角为Pm=arcsinFDmg=arcsin(tan0)・6.利用图像法求极值例6如图10所示，两平行金属板上下正对水平放置，并接到电源上，01、02分别为两个金属板的中点，现将两极板在极短时间内都分别绕过01、02的水平轴逆时针方向转动一个小角度0,试定量分析两极板上的带电量将如何变化？解析设极板长度为a,宽度为b,开始正对面积为S二ab,后来两极板不正对了，或者说正对面积变小了，此时两极板的正对面积为S'=ab—bdsin0，间距为d‘=dcos0,则电容为Cr=er(ab—bdsin。)

5、D4nkdcos0,所以带电量为q=CzU=£rUb(a—dsin0)D4nkdcos0=erUb(aDd—sin。)D4nkcos6・由于erUbD4k是常数，只需研究函数f(0)=aDd—sin0Deos0,可变形为f(0)二aDd—sin0DO—(—cos0),表示定点A(0,aDd)与动点B(—cos0,sin0)连线的斜率.而动点B(—cos0,sin0)的轨迹是单位圆在第二象限内的1D4圆周，如图11所示•可知直线与单位圆相切时斜率有最小值，此时sin0=dDa,则0=arcsindDa,f(0)有最小值，即随着9的增大，f(。)先减小

6、，后增大•也就是说，当0〈87•利用导数法求极值例7两个正点电荷Q1=Q和Q2=4Q分别置于固定的光滑绝缘水平面上的A、B两点，A、B两点相距为L,且A、B两点正好位于水平光滑绝缘半圆细管的两个端点出口处，如图12所示.若把一点电荷放于绝缘管内靠近点处由静止释放，试确定它在管内运动过程中速度为最大值时的位置P.即求出图中PA和PB连线的夹角&・解析如图13所示，点电荷QI、Q2在P点产生的电势分别为U1二kQlDrl二kQlDLcos0，U2=kQ2Dr2=kQ2DLsin0,则P点的电势为u二U1+U2二kDL(QlDcos0+Q2Dsin0).

7、令y=QlDcos0+Q2Dsin0,根据求导公式(uDv)'=i'v—vzuDv2取导数得yr=0—QI(—sin0)Dcos20+0—Q2(—cos0)Dsin20,由yr=0得Qlsin0Dcos20+Q2cos0Dsin20,即Q2DQl=tan36,可知0=arctan(Q2DQ1)lD3=arctan3D4.这就是电势取最小值的条件，因此P点的电势最低，则电势能最小，电场力做功最多，动能最大，所以当0=arctan3D4时，粒子运动的速度最大.