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时间:2018-07-26
《求解物理极值问题数学方法小结》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高考物理中求解极值问题数学方法几例一.引言物理极值问题,就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。物理极值问题是物理学中的一个重要内容,涉及的知识面广,综合性强。在科学领域中,数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合,运用适合的方法,将会拓展解决物理问题的思路,提高运用数学知识解决物理问题的能力。二.数学知识求解物理极值问题的几个例子(一)利用求导的方法求极值通过高等数学知识可知,如果当Δx→0时,有极限,我们把这个极限叫做f(x)在该点(x=x0)的导数。
2、它正是曲线在该点处切线的斜率tanα。如果f'(x0)=0,则在x0处函数有极值。例1:如图1所示,相距2L的A、B两点固定着两个正点电荷,带电量均为Q。在它们的中垂线上的C点,由静止释放一电量为q,质量为m的正检验电荷(不计重力)。试求检验电荷运动到何处加速度最大,最大加速度为多少?解:由于对称性,在AB的中点受力为零,在AB中垂线上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。当q运动到中垂线上的D点时,由图可知图1故其加速度为:发现加速度是一个关于θ的函数,令,()第4页共4页即所以当时,加速度有最大值为:(二)用图像法求
3、极值通过分析物理过程遵循的物理规律,找到变量之间的函数关系,做出其图像,由图像可求得极值。例2:从车站开出的汽车作匀加速运动,它开出一段时间后,突然发现有乘客未上车,于是立即制动做匀减速运动,结果汽车从开动到停下来共用20秒,前进了50米。求这过程中汽车达到的最大速度。t020V/m.s-1解:设最大速度为vm,即加速阶段的末速度为vm:画出其速度时间图象,如图2所示,图线与t轴围成的面积等于位移。即:图2即:(三)利用三角函数求极值NFfmgθ图3例3:物体放置在水平地面上,物理与地面之间的动摩擦因数为µ,物体重为G
4、,欲使物体沿水平地面做匀速直线运动,所用的最小拉力F为多大?该题的已知量只有µ和G,说明最小拉力的表达式中最多只含有µ和G,但是,物体沿水平地面做匀速直线运动时,拉力F可由夹角的不同值而有不同的取值。因此,可根据题意先找到与夹角有关的关系式再作分析。解:设拉力F与水平方向的夹角为θ,根据题意可列平衡方程式,即①②③由联立①②③式解得:,第4页共4页其中,所以(四)利用矢量求极值矢量是物理学中常用的数学工具,有时使用矢量可以求出某些极值问题。FF'ΦΦGFFF''F'''Φ对于例3,我们也可以用矢量知识求极值。图4图5将
5、摩擦力f和地面对木块的弹力N合成一个力F',如图4,F’与竖直方向的夹角为(为一定值)。这样木块可认为受到三个力:重力G,桌面对木块的作用力F'和拉力F的作用。尽管F大小方向均未确定,F’方向一定,但大小未定,但三力首尾相连后必构成三角形,如图5所示。只用当F与F’垂直时,即拉力与水平方向成角时,拉力F最小为而θvmgABCOLTθα故(五)利用不等式求极值例5:一轻绳一端固定在O点,另一端拴一小球,拉起小球使轻绳水平,然后无初速度的释放,如图6所示,小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中,小球所受重力的瞬时功率在何处取
6、得最大值?图6解:当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时,重力的功率为:P=mgυcosα=mgυsinθ①小球从水平位置到图中C位置时,机械能守恒有:②解①②可得:令y=cosθsinθ第4页共4页根据基本不等式,可知:当且仅当,y有最大值结论:当时,y及功率P有最大值。三.小结以上求极值的方法是求解高考物理极值的常用方法。当然,除了以上方法还可以用配方法、函数法等方法求极值问题。在使用中,必须考虑实际问题,找出符合物理规律的物理方程或物理图象,利用恰当的数学模型,使用合适而有效的方法,提高计算的效率。第4页共4页
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