随机弱大数定律和随机强大数定律的充要条件

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1、12卷第2期数理统计与应用概率Vol.12,No.21997年6月MathematicalStatisticsandAppliedProbabilityJun.1997随机弱大数定律和随机强大数3定律的充要条件来向荣张福仁(北京工业大学,北京,100022)(安徽建筑工业学院,合肥,230022)摘　要　本文讨论随机大数定律,得到随机变量序列分别服从随机弱大数定律和随机强大数定律的充要条件关键词　随机变量序列,随机弱大数定律,随机强大数定律设(Xk,k≥1)是随机变量变列,每个EXk存在,(Un,n≥1)是取正整数值的随机变U1nP量序列,若∑(Xk-EXk)0(n→∞),则称(Xk)依

2、(Un)的随机弱大数定律成立,若Unk=1U1na.s.∑(Xk-EXk)0(n→∞),则称(Xk)依(Un)的随机强大数定律成立,参看文Unk=1献[1]1先证明两个引理1引理1　设η是随机变量,g(x)是定义在[0,+∞)的有界的不减函数,在0的右邻-1域取正值,g(+0)=g(0)=0,则对每个正数ε,有P(

3、η

4、≥ε)≤[g(ε)]Eg(

5、η

6、)证　由假设知,对每个正数ε,g(ε)>0,有-1P(

7、η

8、≥ε)=∫dFη(x)≤∫[g(ε)]g(

9、x

10、)dFη(x)(

11、x

12、≥ε)(

13、x

14、≥ε)∞-1≤[g(ε)]∫g(

15、x

16、)dFη(x)-∞-1=[g(ε)]Eg(

17、η

18、)其中,F

19、η(x)是η的分布函数1引理1得证1引理1是文献[2]第33页命题11212的推广1引理2设η与g(x)同引理1,则对每个正数ε,有Eg(

20、η

21、)≤g(ε)+[supg(

22、x

23、)]P(

24、η

25、≥ε)x　证∞Eg(

26、η

27、)=∫g(

28、x

29、)dFη(x)-∞=∫g(

30、x

31、)dFη(x)+∫g(

32、x

33、)dFη(x)(

34、x

35、<ε)(

36、x

37、≥ε)3收稿日期:1994年3月21日,收到修改稿日期:1996年6月11日1©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.112数理统计与应用概率第12卷第2期≤g(ε)P(

38、η

39、<ε

40、)+[supg(

41、x

42、)]P(

43、η

44、≥ε)x≤g(ε)+[supg(

45、x

46、)]P(

47、η

48、≥ε)x其中,Fη(x)是η的分布函数1引理2得证1引理2是文献[2]第33页命题1、2、3的推广1定理1设(Xk,k≥1)是随机变量序列,每个EXk存在,(Un)是取正整数值的随机变量序列,则(Xk)依(Un)的随机弱大数定律成立的充要条件是:存在定义在[0,+∞)的有界的不减函数g(x),在0的右邻域取正值,g(+0)=g(0)=0,使Eg(

49、YU

50、)0(n→∞)nU1n　　其中,YU=∑(Xk-EXk)nUnk=1证　对每个正数ε及满足定理1条件的g(x),由引理1,引理2,有-1P(

51、YU

52、≥

53、ε)≤[g(ε)]Eg(

54、YU

55、),nnEg(

56、YU

57、)≤g(ε)+[supg(

58、x

59、)]P(

60、YU

61、≥ε),nxn由此,即见定理1成立1在定理1中,令Un=n,n≥1,得:(Xk,k≥1)服从弱大数定律的充要条件是:存在定义在[0,+∞)的有界的不减函数g(x),在O的右邻域取正值,g(+0)=g(0)=0,使n1Eg(

62、Yn

63、)0(n→∞),其中,Yn=∑(Xk-EXk)nk=1把定理1中的g(x)取作一系列具体的函数,可以得到一系列具体的判别法则,参看文献[3]第62—64页1文献[3]定理1的必要性的证明中存在一些问题,它假设(ηn)是任意随机变量序列,f(t)在(0,+∞)有定

64、义,取正值,单调非降,界为1,f(+0)=0,得到不等式0

65、ηn

66、)=f(

67、y

68、)dFη(y)+f(

69、y

70、)dFη(y)∫n∫n

71、y

72、<ε

73、y

74、≥ε≤f(

75、ε

76、)P(

77、ηn

78、<ε)+P(

79、ηn

80、≥ε)　　实际上,上述推导没有根据1由Stieltjes积分,应有f(

81、y

82、)dFη(y)=f(0)[Fη(+0)-Fη(-0)]+f(

83、y

84、)dFη(y)∫nnn∫n(

85、y

86、<ε)(0<

87、y

88、<ε)≤f(0)[Fη(+0)-Fη(-0)]+f(ε)P(0<

89、ηn

90、<ε),nn1既然文献[3]中没有定义f(0),不妨取f(0)=,并对一切n,取(ηn)使Fη(+0)-Fη(-2nn110)

91、=,得到Ef(

92、ηn

93、)≤+f(ε)+P(

94、ηn

95、≥ε),于是,由P(

96、ηn

97、≥ε)0(n→∞)推24导不出Ef(

98、ηn

99、)→0(n→∞)此外,还可取f(x)及(ηn),f(0)为负数,并使Ef(

100、ηn

101、)为负数,从而文献[3]定理1的必要性的证明失去依据1©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.第12卷第2期来向荣等:随机弱大数定律和随机强大数定