大数定律和强大数定律的推广

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1、大数定律和强大数定律的推广数学计算机学院数学师范专业2012届谢飞摘要：大数定律和强大数定律是概率论中两个重要的概念，有许多文献都在讨论大数定律和强大数定律，本文通过对大数定律和强大数定律的讨论，总结归纳出定理的部分推广形式，并且阐述了定理在应用时需要注意的问题，及定理之间的内在联系.关键词：大数定律；强大数定律；推广中图分类号：O211.5ThepromotionofthelawoflargenumberandstronglawsoflargenumbersAbstract:Thelawoflargenumberandthestronglawsoflargen

2、umbersaretwoimportantconceptininthetheoryofprobability,Therearemanyliteratureinthediscussionofthelawoflargenumberandthestronglawsoflargenumbers,Discussiononthelawoflargenumberandstronglawsoflargenumbers,thispaperSummarizingthepartoftheextendedformtheorem,andexpoundstheapplicationtheo

3、remtheproblemstobepayattentionto,andtheinnerrelationshipbetweenthetheorem.Keywords:lawoflargenumber；stronglawsoflargeNumbers；promotion目录1引言12大数定律12.1大数定律的叙述12.2伯努利大数定律22.3辛钦大数定律32.4波莱尔强大数定律32.5柯尔莫哥洛夫强大数定律32.6马尔可夫大数定律33强大数定律44强大数定律的推广55收敛性之间关系7参考文献8致谢8大数定律和强大数定律的推广1引言大数定律和强大数定律是概率论中两个

4、重要的概念，围绕这两个概念有许多重要的定理，并且许多重要的定理证明和实际问题中都要应用这两个概念及其相关定理，鉴于这些定理在理论推导和实际应用方面的举足轻重的作用，很有必要推广这两个概念及其定理．2大数定律[1]大数定律是概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律,是概率论与数理统计学的基本定律之一.　以重复投掷一枚硬币的随机试验为例,记次投币试验中出现正面的次数为.对于不同的次试验，可能不同，但当越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1/2.又如称某一物体的重量，假如衡器不存在系统偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对同一物体重复称量多次，可

5、能得到多个不同的重量数值，，…，.但若取它们的算术平均值···,则随的增大,一般来说也将逐渐接近于物体的真实重量.2.1大数定律的叙述[1]设｛X｝为随机变量序列，它们都有有限的数学期望E(X)．如果0则称｛X｝满足大数定律．82.2伯努利大数定律[1]雅各布第一伯努利(1652～1705)在《推测术》(1713年出版)中首先从数学上论述了这一现象.他证明了：若是次独立重复试验中事件出现的次数，是事件的概率，则对,有，即依概率收敛于.证明令则····是个相互独立的随机变量，且而.于是有切比雪夫不等式有，又由独立性可以证明此结论，这一结论表明，对任意小的正数，只要

6、充分大，频率与概率p发生大于的偏离的可能性就很小，即大多数试验只使与p发生较小的偏离.这是历史上第一个严格说明频率稳定性的定律，称为伯努利大数定律.大数律这个名称是S.-D.泊松于1837年给出的.大数律表明，对同一随机变量的次独立观察值，，…，的平均,将随的增大而收敛于它的数学期望EX.在数理统计中，就依据这一点而取多次重复观测的算术平均作为EX的较精确的估计.8特别可以利用频率的稳定性来对事件的概率和随机变量的分布进行估计，还可以利用样本矩向总体矩的收敛，取样本矩作为总体矩的近似而获得参数估计的矩方法（见点估计）.由于随机变量序列=向常数的收敛可以有多种不同

7、的方式，按其收敛为依概率收敛、以概率1收敛或均方收敛（见概率论中的收敛），分别有弱大数律、强大数律或者说是均方大数律.弱大数律又通称为大数律.根据随机变量序列各种收敛之间的彼此相互关系我们可以由由强大数律或均方大数律可以推出弱大数律.反之不成立2.3辛钦大数定律[1]若{}为独立同分布随机变量序列，存在有限，则对任何>0，有，2.4波莱尔强大数定律[2]设是次独立重复试验中某事件出现的次数,则以概率1成立.(F.-É.-J.-)É.波莱尔最初只证明了=的情形,以后才证明了对一般的也有同样的结果.2.5柯尔莫哥洛夫强大数定律[2]　若{}为独立同分布随机变量序列，

8、存在，则以概率1成立.2