一致有界随机变量序列的弱大数定律.pdf

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1、第5卷第5期杭州师范学院学报(自然科学版)Vol.5No.52006年9月JournalofHangzhouTeachersCollege(NaturalScienceEdition)Sep.2006文章编号:1008-9403(2006)05-0391-04一致有界随机变量序列的弱大数定律1,2邵杰(1.辽东学院基础部,辽宁丹东118000;2.杭州师范学院数学系,浙江杭州310018)摘要:利用一致有界条件,建立弱大数定律,改进了目前的某些结果,并找到弱大数定律与强大数定律的内在差别.关键词:依概率收敛;一致

2、有界;弱大数定律;强大数定律中图分类号:O211.4MSC2000:60F05文献标志码:A1预备知识随机变量序列部分和依概率收敛是概率极限理论中一个重要内容,它在可靠性理论、渗透理论和多元分析中有着广泛的应用,因此研究其弱大数定律具有更重要的意义.定义1称随机变量序列Xn,n≥1是弱(强)稳定的,如果存在常数序列an,bn,0

3、义3称随机变量序列Xn,n≥1是关于随机变量X一致有界的,若Pt>0,Pn∈N有P(Xn>t)≤CP(X>t),其中C是正常数,可以是不同的常数,即使出现在同一个式中也是如此.[1]2引理设Xj,j∈N为NA序列,EXj<∞,EXj=0,j∈N,则对Pn∈N有n22E(maxSk)≤4∑Xj.1≤k≤nj=1[2]定理A(Marcinkiewicz强大数定律)设Xn,n≥1是i.i.d随机变量序列,则对某个有限常数an1-p以及p∈(0,2),np∑(Xk-a)→0a.s.的充要条件是EX1<∞.当1≤p<2时,

4、a=EX1;k=1当0

5、Xn,n≥1是关于随机变量X一致有界的随机变量序列,0

6、Xi

7、≤n

8、Fi-1,Fi=σ(X1,X2⋯Xi),F0={Ω,Φ}.i=1定理2设Xn,n≥1是NA的关于随机变量X一致有界的随机变量序列,0

9、列,0

10、例如,当n较大11-1时,令nP(X≥np)=logn,则nP(X≥np)→0,n→∞,而∞∞∞ppp11EX≥∑PX≥n=∑PX≥np=∑=∞.n=2n=2n=2nlogn由此可知,弱收敛不必要求p阶矩存在,而强收敛恰恰相反.注3定理1和定理2相对比,对独立性的不同要求将会导致弱大数定律有不同的表现形式.3主要结果的证明定理1的证明n1令Ypj=XjI[Xj≤n],S′n=∑Yj,则有j=1nnn11P(Sn≠Sn′)≤P∪(Yj≠Xj)≤∑P(Yj≠Xj)≤∑P(Xj>np)≤CnP(X>np)→0,n→∞,

11、j=1j=1j=1P故Sn-Sn′0.11令Zppj=XjI[Xj≤n]-E[XjI[Xj≤n]Fj-1],其中Fj=σ(X1,X2,⋯,Xj),则{Zj,Fj,j≥1}[4]是鞅差序列.根据Hájek2Rènyi不等式,有11--P[maxSppk-akn≥ε]=P[maxSk′-akn≥ε]≤1≤k≤n1≤k≤n第5期邵杰,等:一致有界随机变量序列的弱大数定律393k