分形文化价值管窥

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1、2008年第47卷第1期数学通报分形的文化价值管窥舒昌勇包韬略(江西省上饶县教师进修学校3412o0)(江西教育期刊社330046)数学是人类文化的重要组成部分，它对人们为单位，则几米至几百米的弯曲就会被忽略不能的观念、精神、思维方式的形成产生了重要的影计人在内;若改用米作单位，上面忽略掉的弯曲都响.特别是人类文明的重大成果—欧几里得几可计人，但仍有几厘米，几十厘米的弯曲会被忽略何开创的公理化思想，更是对人类理性思维的形⋯⋯采用的单位越小，计人的弯曲就越多，海岸线成起着关键的作用.当历史的车轮行进到20世纪长度就越长，而海岛的面

2、积却是确定的—这一70年代时，人们的眼光再一次关注几何学发展的结论让所有的人都瞳目结舌.新进程—美籍法国数学家芒德勃罗创立的一门2分数维—刻划不规则几何形状的新概念从研究对象，到特征长度，到表达方式，到描述方芒德勃罗在得出海岸线长度不确定这一石破法都异于欧几里得几何的新的几何学—分形几天惊结论的同时，更独具慧眼地发现传统数学的何学，它以全新的概念、思想和方法改变了人们传“病态”图形一科赫雪花曲线可以作为海岸线的数统的认识(表1)，以新颖的艺术美感陶冶人们的学模型.他指出，科赫雪花曲线与海岸线一样，随情操，丰富数学文化的内涵.20

3、03’年4月，教育部着测量单位的不断减小，其周长不断增大，而它所颁布的《普通高中数学课程标准(实验)))中，“海岸围成的面积却为一个定值(图1).设正三角形PO线与分形”被列为数学文化的一个选题.这从一个的周长为L。，则图1中P。，尸1，尸:，⋯，尸，，⋯的周侧面反映了数学教育对分形的文化价值的关注.在本文中，笔者拟对分形的文化价值作初步的探讨.衰1分形几何学与欧氏几何学的差异描述对象特征长度表达方式维数欧氏几人类创造的简圈1着数学公式0或正整数何学单的标准物体长依次为L。，韶。，(韵’LO，一(+)’一’LO，一分形几大自然创

4、造的一般是分数无迭代语言何学复杂的真实物体(也可以是整数二由于音>‘，所以当n趋向于无穷大时，科赫雪花1英国的海岸线有多长?—变革人们传统观曲线(图形P，当n趋向于无穷大时的极限情况)念的问题的周长趋向于无穷大.设P。的面积为5。，则PO，海岸线的长度问题，按传统科学的方法来考PI，。，⋯，。，⋯的面积依次为、，(1+备‘音)凡，虑是极其简单的.可是芒德勃罗1967年在国际权、威的美国《科学》杂志上的论文《英国的海岸线有(‘+寻“合十寻‘合‘告)5。，一多长》中得出的结论却令人惊异:英国的海岸线长度是不确定的!它依赖于测量时所用

5、的测度{1+寻〔告+(告)’+⋯+(告)一’]}5。，·⋯由于单位.芒德勃罗指出，海岸线由于海水长年的冲测等比数列求和公式5，一生号竺在。灿·趋于和陆地自身的运动，形成了许多大大小小的海湾口l无穷大时，为5=和海卿，弯弯曲曲极不规则.测量其长度若以千米1一q用之可算得合+(韵’十万方数据数学通报2008年第47卷第1期.14、”一14，，一，、:、~‘二二。，~‘二，一+(于}=于，从而科赫雪花曲线所围成的面’、925’材、”‘”一一‘“~一‘/’一一~一冲，，_1二3、，4、。8。、，、一二‘，二积等于{1+芬X于】5。=苦5

6、。，为一确定的值.芒1，、，JJ、一’4‘’5产一“5一“’/廿，“~”‘一’~氏指出海岸线之所以出现这种怪现象，就因为它是一种不同于规则欧氏几何图形的不规则的分形曲线，它的维数比欧氏几何直线的维数大，而维数簿理论告诉我们:对任何一个有确定维数的几何对图2象，只能用与它有相同维数的测度单位去测量它.象燃烧的火焰，那心形圆盘上饰以多姿多彩的荆如果测度单位的维数比它更小，则结果为无穷大;棘，上面挂着鳞茎状下垂的微小颗粒.这种放大可测度单位的维数比它更大，则结果为零.因而用1无限地进行下去，无论放大到哪一个层次，都会显维的千米、米等欧

7、氏测度单位去测量海岸线长度示同样复杂的局部.这些局部与整体不完全相同，时，其结果必然趋向于无穷大了.这样，芒氏就把又有某种相似的地方，使人感到这座具有无穷层被传统数学家摒弃的科赫雪花曲线等具有这种奇次结构的雄伟建筑的每一角落，都存在无限嵌套怪性质的“数学怪物”—康托尔集、谢尔宾斯基的迷宫和回廊，催生起人无穷的探究欲望.垫片、门杰海绵等变成了宝，变成了构建充满新概芒德勃罗称欣赏欧氏几何的抽象美需要艰苦念、新思想的分形几何学的基本材料.这就表明芒和长期的训练，而分形却通过视觉给人们直观、丰氏在发现海岸线本质特征的同时，也洞悉了这些富

8、的表象，是直接的美的感受—一种别开生面在数学史的垃圾箱中被搁置了半世纪之久的“病的，非传统艺术所具有的美的感受.更令人未曾想态”几何图形的本质，并还它们以公道，精辟地指到的是，分形无限层次的自相似原理(这一原理在出可以用它们作为描述广泛存在于自然界和人类图3旅类