正则变换与二粒子耦合体系哈密顿量的对角化技术_逯怀新

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1、第16卷第1期大学物理Vol.16No.11997年1月COLLEGEPHYSICSJan.1997正则变换与二粒子耦合体系哈密顿量的对角化技术逯怀新(昌潍师范专科学校物理系,山东潍坊261043)a摘要把耦合项为C(a++++1a2+a2a1)+D(a1a2+a2a1)的Hamilton量写成超矩阵相乘的形式,通过正则变换使其对角化.关键词正则变换;耦合体系;对角化分类号O413.1+AB笔者曾在文献[1]中,对耦合项为C(a1a2+++超矩阵:E=(5)+a2a1)+D(a1a2+a2a1)的Hamilton量,通BA

2、过引入三种幺正算符进行了对角化处理.本文其中A、B均为2×2矩阵再介绍一种新的方法,即把Hamilton量写成超A1C0DA=,B=(6)矩阵相乘后,可通过一次正则变换使上述形式CA2D0的Hamilton量方便地对角化.引入上述记号后,式(2)表示为1+a11玻色体系H=(a,)E-(A1+A2)(7)2a+2对于形为为使式(7)对角化,作如下正则变换H=A++++1a1a1+A2a2a2+C(a1a2+a2a1)+UVAaa+++D(a1a2+a2a1)(1)=P=(8)+++Aaa的玻色耦合体系,其Hamilton量

3、可用如下矩阵VU表示式中A=A1,A+=(A++1A2)为准粒子玻色子,满足A1C0Da1A21CA2D0a2对易关系H=(a++++21a2,a1a2)0DA+[Ai,Aj]=[ai,aj]=Dij(9)1Ca1D0CA+而式(8)中的变换矩阵P为2×2超矩阵2a2-(A1+A2)/2(2)UV为把式(2)写成更简洁的形式,引入双模玻色子P=(U,V为2×2数矩阵)(10)[3]VU及超矩阵a1在式(8)变换之下,式(7)可写成双模玻色子:a=,a+=(a++1a2)(3)a21～AH=(A+,A)P-1+-1+EPa1

4、2+=(a+A1a2),a=(4)+a21-(A1+A2)(11)2若式(11)中有a收稿日期:1996-01-24,修回日期:1996-07-0110大学物理第16卷+10(18).为此我们写出式(18)中第L列的本征值(P-1)+EP-1=(12)[3]方程0+2ABUT+L×I2×20其中+1、+2为对角阵,则式(11)可对角化.=BA-VT0-+下面先证明式(12)中的+1与+2相等.LL×I2×2UT由Fock空间对易规则不变,即由式(9),可求得变换矩阵P之逆为õ(19)TUT-VT-VL-1显然,式(19)中

5、的本征值+P=(13)L由以下久期方程决-VTUT定故式(12)为A-KBU-VABUT-VTdet=0(20)BA++-VUBATT展开式(20)有-VU+10K4-(A222+2C2)K2+A2221+A2-2D1A2-2A1A2(C=+D2)+(C2-D2)2=0(21)0+2解式(21)得TTUVK21[(A222-2D2)1,2=1+A2+2C2上式两边左乘,注意到±(A222+4C2(A222TT1-A2)1+A2)-4D(A1-A2)](22)VUTT为保护Hamilton量的正定性[3],我们取式(22)U

6、VU-V=I中4个根的两个正根VTUT-VUK122221=[(A1+A2+2C-2D)TT2ABU-V1得+(A21-A22)2+4C2(A1+A2)2-4D2(A1-A2)2]2(23)BATT1-VUK2=[(A21+A22+2C2-2D2)TT+UV1021=(14)-(A222+4C2(A1+A2)2-4D2(A1-A2)2]2(24)1-A2)VTUT0+2+0展开式(14)有即(P-1)+EP-1=(25)AUT-BVT=UT+10+(15)BUT-AVT=VT+1K10+=(26)-AVT+BUT=VT+2

7、0K2(16)-BVT+AUT=UT+2将式(25)、(26)代入式(11),可得对角化的比较式(15)、(16)可以看出,+1、+2满足同样的方Hamilton量为程.所以有+1=+2=+.因此可以把式(12)写为H=K++11A1A1+K2A2A2+(K1+K2-A1-A2)(27)2+0-1+-1其中,K1,K2由式(23)、(24)给出.(P)EP=(17)0+2费米体系式(17)的展开式为AUT-BVT=UT+对于形为式(11)的费米体系,其矩阵形式为(18)BUT-AVT=VT+～a1+1H=(a,a)E～+(

8、A1+A2)(28)2+2所以式(11)的对角化问题就是解矩阵方程式a第1期逯怀新:正则变换与二粒子耦合体系哈密顿量的对角化技术11a1,a+=(a+++K4-(A21+A22+2C2-2D2)K2+A21A22+(C2-D2)2其中a=1,a2),[ai,aj]+=Dij(29)a2-2A221A2(