一个新的正项级数敛散性的判别法

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1、第34卷第2期唐山师范学院学报2012年3月Vol.34No.2JournalofTangshanTeachersCollegeMar.2012一个新的正项级数敛散性的判别法顾先明，彭浩（唐山师范学院数学与信息科学系，河北唐山063000）摘要：用级数1pn2nlnn做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，称为“对数判别法”。关键词：比较判别法；级数判别法的极限形式；Lagrange中值定理；对数判别法中图分类号：O173文献标识码：A文章编号：1009-9115(2012)02-0031-03ANewCriterionoftheConver

2、genceandDivergenceofthePositiveSeriesGUXian-ming,PENGHao(DepartmentofMathematicsandInformationScience,TangshanTeachersCollege,Tangshan063000,China)Abstract:Inthispaper,anewcriterionwasproposedtodiscriminatetheconvergenceofpositiveseriesbyusingseries1pn2nlnnasacomparingstandard.Thistyp

3、eofcriterionisfinerandmoreconvenientthanthatfrequently-usedRaaba’scriterion.KeyWords:newcriterion;positiveseries;ponvergence;Raaba’scriterion1引言un目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别n1法，然而此判别法有时精确度仍然不够。本文以级数和1pvnn2nlnnn1做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便为正项级数，且存在正数N，对一切nN，有的判别法—“对数判别法”。虽然文献[1-3]以对数

4、级数uvn1n11uvnnpn2nlnn于是做比较标准得到一系列关于正项级数的敛散性判别法，并（1）若级数称为Bertrand判别法，但是笔者在文章中得到的一种有别vn于Bertrand判别法的新的判别法。首先先给出几个引理：n1[1]Lemma1设收敛，则──────────基金项目：唐山师范学院的大学生科技创新立项项目收稿日期：2011-01-22作者简介：顾先明（1989-），男，安徽寿县人，本科学生，研究方向为函数论，计算数学。-31-第34卷第2期唐山师范学院学报2012年3月由拉格朗日中值定理知，对任意n，存在unn1(n,n1

5、)n也收敛；使得（2）若级数1ln(n1)lnnnunn1故发散，则un(n1)ln(n1)unlnnn1vnn1nunlnn[1]1，n亦发散。(n1)un1[2]对于正项级数Lemma2要使n足够大时有1nulnn[n1]1nlnpnnn1(n1)un1来说，当p1时是收敛的；当p1是发散的。成立，只需2主要结果nunlimlnn[1]1n我们得到的定理如下：n(n1)un1Theorem（LogarithmTest）设正项级数显然unlimn1n1nn满足：故当nunnulim

6、nlnn[1]slimnlnn[n1]1n(n1)un1n(n1)un1则时，（1）当s1时，unn1unn1发散。收敛；收敛的情况可类似讨论：设数列{un}是正项数列，若（2）当s1时，存在p1使得n足够大时，有puun(n1)[ln(n1)]npn1un(lnn)n1发散。成立，则先考虑发散的情况。设数列{un}是正项数列，若n足un够大时，由比较判别法有n1un(n1)ln(n1)收敛。因为un1nlnnu(n1)[ln(n1)]pn成立，则un(lnn)pn1ppununln(n

7、1)lnnn1pn1(n1)ulnnn1发散。由拉格朗日中值定理知，对任意n，存在为了应用方便，我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极(n,n1)n限形式”：使得un(n1)ln(n1)p[ln]p1ln(n1)plnnpnunlnnn1nnunln(n1)lnn故1(n1)ulnnn1-32-顾先明，等：一个新的正项级数敛散性的判别法ppun(n1)[ln(n1)]n[lnn]limppppun1n(lnn)n[ln]nnp1故当nun[ln]nnnlnn[1