巧用配积法推广一类初中数学竞赛题

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1、2010年第2期9巧用配积法推广一类初中数学竞赛题名炙豪(华南师范大学数学科学学院2007级研究生，510631)(华南师范大学数学科学学院，510631)中图分类号：0122文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)02一O0O9—03题2原解j考虑到中。、b、c的“地1问题原解位平等”知，++的值取决于两题1已知实数o、b≠O，令一L。_鱼_。一l0I’Ibl’10bI。个数积的符号，的值取决于三个数积的I口DCI则的最大值与最小值的和是．Ⅲl符号．故可按a,b、C中正数的个数分类：(第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初(1)当n、b、c

2、均为正数时，M=7．一复赛)(2)当I1,、6、c中有两个正数、一个负数时，题2已知8、b、c是非零实数，且0bC．I口l+’■lbI+。■l：I，CIa=+面b+蠢++++．abbn．zabc．丽+丽+丽一l，丽一l。求的值．口从而，M=一1．题1原解按n、b中负数的个数，可分三种情况：(3)当口、6、c中有—个正数、两个负数时，口c．(1)口、b均正，则：3；T1—T+b+=一l，0l’lI‘IeI‘’(2)口、b一正一负，则=一1；nI)bccnabc．(3)n、b均负，贝0=一1．面+丽+面一1，面l‘综上，的最大值为3，最小值为一1．从而，

3、M：一1．故所求为2．(4)当口、b、c全为负数时，M=一1．收稿日期：2009—05—22综上，的值为一1或7．jOCD∽OAB~DC}f垤．PAPMMPPDPNPN’(1)若DC=AB，易得从而，以OP为直径的圆是线段MN的ME=MF=NF=Ⅳ．阿氏圆．(2)若DC≠AB，则四边形ABCD为梯再注意到OE-l_AP，OF上，易得形．不妨设DC

4、【总结】此类问题可归纳为求一类代数=(1+1)(1+2)⋯(1+)一1．2．2新解式值的问题．令=，z=，，=音．题l新解令-=，z=．则则题1可看成足关于。、的二元初等对称多项式的和，题2可看成是关于．、X2．~X的=l+2+X1X2=(1+1)(1+2)一1三元初等对称多项式的和，且根据=1+音)(+)一-f1，>0；lI【一1，<0『一1，a．b中至少有一个为负数；可知，．、、，只能取±1．通过分类讨论的I3，。>0，b>0．方法，即得结果．若将二元、三元推广到任意题2新解令-=，=，s=音．凡(n>3)元，再用上述的方法求解，其工作量则M=x

5、1+2+3+l+23+x3xl+l23可想而知．=(1+1)(1+2)(1+3)一l本文介绍一种新的方法——配积法，先将原式化简，再进行讨论，进而得到更一般的=1+)(+)(+C)一结论．『一1，a,b、c中至少有一个为负数；2问题新解17，口>0，b>0，c>0．【总结】用配积法解此类问题，可以简化2．1配积法介绍繁杂的分类讨论过程，揭示问题的本质，且更注意到容易将其推广．(t+)(t+Y)=t2+t(x+，，)+令t=1．则3问题推广(1+)(1+)=1++)，+现给出与／7,元初等对称和式同理，(1+)(1+，，)(1+(l，2，⋯，)=1++

6、，，+z+xy+++xyz．故+，，+=(1+)(1+，，)一1，)=一．J∑．一I’一^I=11《l

7、式的配积方法如下：g2(l，2，⋯，)(l，2，⋯，)=—(窑)"Xi．I客=1(一，)一l1~il<／2∑<"·．

8、,b,c、d均为负数例2设=i=1,2,--．,n．far一～+++一贝Ⅱgl(茹l，2，⋯，)=(Yl，Y