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1、2010年第2期9命题与解题巧用配积法推广一类初中数学竞赛题石岩吴康(华南师范大学数学科学学院2007级研究生,510631)(华南师范大学数学科学学院,510631)中图分类号:O122文献标识码:A文章编号:1005-6416(2010)02-0009-03[2]题2原解考虑到M中a、b、c的#地1问题原解abbcca位平等∃知,++的值取决于两题1已知实数a、b!0,令
2、ab
3、
4、bc
5、
6、ca
7、abababcx=++.个数积的符号,的值取决于三个数积的
8、a
9、
10、b
11、
12、ab
13、
14、abc
15、[1]则x的最大值与最小值的和是.符号.故可按a、b、c中正数的个数分类:(第八届华罗
16、庚金杯少年数学邀请赛初(1)当a、b、c均为正数时,M=7.一复赛)(2)当a、b、c中有两个正数、一个负数时,题2已知a、b、c是非零实数,且abc++=1,
17、a
18、
19、b
20、
21、c
22、abcabbccaabcM=++++++.
23、a
24、
25、b
26、
27、c
28、
29、ab
30、
31、bc
32、
33、ca
34、
35、abc
36、abbccaabc++=-1,=-1.[2]
37、ab
38、
39、bc
40、
41、ca
42、
43、abc
44、求M的值.题1原解[1]按a、b中负数的个数,可从而,M=-1.(3)当a、b、c中有一个正数、两个负数时,分三种情况:(1)a、b均正,则x=3;a+b+c=-1,
45、a
46、
47、b
48、
49、c
50、(2)a、b一正一负,则x=-1;abbccaabc(3)
51、a、b均负,则x=-1.++=-1,=1.
52、ab
53、
54、bc
55、
56、ca
57、
58、abc
59、综上,x的最大值为3,最小值为-1.从而,M=-1.故所求为2.(4)当a、b、c全为负数时,M=-1.收稿日期:2009-05-22综上,M的值为-1或7.OCDOABDCAB.PAPMMP===.PDPNPN(1)若DC=AB,易得从而,以OP为直径的圆是线段MN的ME=MF=NF=NE.阿氏圆.(2)若DC!AB,则四边形ABCD为梯再注意到OEAP,OFBP,易得形.不妨设DC60、]黄全福.从一道国际数学竞赛题谈起[J].数学教学,===ONONCDDC1984(4).10中等数学%总结&此类问题可归纳为求一类代数=(1+x1)(1+x2)+(1+xn)-1.abc2.2新解式值的问题.令x1=,x2=,x3=.
61、a
62、
63、b
64、
65、c
66、ab题1新解令x1=,x2=.则则题1可看成是关于x1、x2的二元初等对称
67、a
68、
69、b
70、多项式的和,题2可看成是关于x1、x2、x3的x=x1+x2+x1x2=(1+x1)(1+x2)-1三元初等对称多项式的和,且根据ab=1+1+-1x1,x>0;
71、a
72、
73、b
74、=
75、x
76、-1,x<0-1,a、b中至少有一个为负数;=3,a>0,b>0.可
77、知,x1、x2、x3只能取∋1.通过分类讨论的方法,即得结果.若将二元、三元推广到任意题2新解令xabc1=,x2=,x3=.
78、a
79、
80、b
81、
82、c
83、n(n>3)元,再用上述的方法求解,其工作量则M=x1+x2+x3+x1x2+x2x3+x3x1+x1x2x3可想而知.=(1+x1)(1+x2)(1+x3)-1本文介绍一种新的方法(((配积法,先abc将原式化简,再进行讨论,进而得到更一般的=1+1+1+-1
84、a
85、
86、b
87、
88、c
89、结论.-1,a、b、c中至少有一个为负数;=2问题新解7,a>0,b>0,c>0.%总结&用配积法解此类问题,可以简化21配积法介绍繁杂的分类讨论过程,揭示问题的本
90、质,且更注意到容易将其推广.2(t+x)(t+y)=t+t(x+y)+xy.令t=1.则3问题推广(1+x)(1+y)=1+x+y+xy.现给出与n元初等对称和式同理,(1+x)(1+y)(1+z)f1(x1,x2,+,xn)=1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz.n故x+y+xy=(1+x)(1+y)-1,)=xi1xi2+xikk=11,i191、z+zx+xyzk=11,i92、xixi+xi
93、12k和式的配积方法如下:g2(x1,x2,+,xn)nxf1(x1,x2,+,xn)k-1ixi+xi12
