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《三边固定一边自由矩形板的精确解_岳建勇》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第20卷第1期青岛建筑工程学院学报Vol.20№11999JournalofQingdaoInstituteofArchitectureandEngineeringa三边固定一边自由矩形板的精确解岳建勇曲庆璋(青岛建筑工程学院建筑工程系,青岛266033)摘要基于Kirchhoff薄板理论,选择双三角级数加多项式的挠度函数,解决了三边固定一边自由矩形板在静水压力、均布荷载作用下的弯曲.计算表明:这种解法收敛速度快,计算精度高,且易于实际工程应用.关键词弹性薄板弯曲,矩形板,三角级数中图法分类号O343本文是对K
2、irchhoff矩形薄板一般精确解研究的一部分.众所周知,矩形板的精确解在一般条件下求解是相当困难的.因此,历史上存在着一些著名的难题.在文献[1]中,S.Timo-shenko给出了一些边界条件下,矩形板的级数形式精确解.80年代以来张福范等利用叠加方[2]法给出了矩形悬臂板及弹性地基上四边自由矩形板等著名难题的精确解.作者之一在文献[3][4]等中,用不同的方法亦给出了它们的精确解.文献[5]亦给出了矩形板的精确解.本文研究的问题,其典型的工程实例为水利工程中的水闸闸门,因此本研究有重要的工程意义和工程应用
3、前景.1基本微分方程和边界条件设矩形板边长为2a、b,边界条件为三边固定一边自由,该问题最典型的工程实例是水闸闸门,承受横向载荷q(x,y)作用,坐标系选取如图1.基本控制微分方程:4q(x,y)ýw=(1)D图1矩形板4444555式中ý=4+222+4,D为板的抗弯刚度5x5x5y5y3EhD=,其中E、v分别为板的弹性模量及泊松比,h为板的厚度.12(1-v)(1)在y=0边上有w=0(2)a收稿日期:1998-08-31第1期岳建勇等:三边固定一边自由矩形板的精确解175w=0(3)5y(2)在x=±a
4、边上有w=0(4)5w=0(5)5x(3)在y=b边上有225w5wMy=-D2+v2=0(6)5y5x335w5wVy=-D3+(2-v)2=0(7)5y5x5y2在给定边界条件下的基本微分方程*设w(x,y)=w°(x,y)+w(x,y)(8)*其中w°(x,y)为方程(1)所对应的齐次方程的通解,w(x,y)为方程(1)的一个特解,当板面作用静水压力时分别取为∞w°(x,y)=6[BmshAy+CmAychAy+DmAychA(b-y)]cosAxm=1∞23+6(EnchBx+HnBxshBx)sinB
5、y+Qy+Ry+Syn=1*q05423w(x,y)=-(3y-15yb+20by)360DbmPnP其中Bm,Cm,Dm,En,Hn,Q,R,S为待定系数;A=,B=.将(8)式给出的挠度函数w(x,aby)代入边界条件,则有(1)边界条件(2),即wûy=0=0自然满足.5w(2)由边界条件(5)式=0得5xx=±a∞6[(En+Hn)shBa+HnBachBa]sinBy=0n=1由于上式需要满足变量y的一切值,故应有(En+Hn)shBa+HnBachBa=0(9)225w5w(3)由边界条件(6)式2
6、+v2=0得5y5xy=b∞6{[(1-v)Bm+2Cm]shAb+(1-v)AbchAbCm+(1-v)AbDm}m=12AcosAx+2Q+6bS=0由于上式应满足变量x的一切值,故应有[(1-v)Bm+2Cm]shAb+(1-v)AbchAbCm+(1-v)AbDm=0(10)2Q+6bS=0由(9),(10)二式可得18青岛建筑工程学院学报第20卷2AbBm=-+AbcthAbCm-Dm1-vshAb(11)En=-(1+BacthBa)HnQ=-3bS5w(4)由边界条件(3)式=0得5yy=0∞∞6
7、[(Bm+Cm)+DmchAb]AcosAx+6(EnchBx+HnBxshBx)B+R=0m=1n=1将(11)中三式代入上式得∞1+vAb6-+AbcthAbCm+chAb-DmAcosAxm=11-vshab∞+6[-(1+BacthBa)HnchBx+HnBxshBx]B+R=0n=1将式中的chBx,BxshBx在[-a,a]展成余弦级数,并代入得∞∞41+vAb-4B6-+AbcthAbACm+chAb-ADm+6222shBacosmPHnm=11-vshAbn=1a(A+B)∞2cosAx+6-
8、shBaHn+R=0m=1a上式应满足变量x的一切值,故应有方程1+vAb-+AbcthAbACm+chAb-ADm1-vshAb∞4-4B+6222shBacosmPHn=0(12)n=1a(A+B)∞26-shBaHn+R=0m=1a(5)由边界条件(4)式wûx=±a=0得∞236[BmshAy+CmAychAy+DmAychA(b-y)]cosmP+Qy+Ry+Sym=1∞q0
