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1、第18卷第3期郑州工业大学学报Vo1.18No.3.1997年9月JournalofZhengzhouUniversityofTechnologySep.1997*三边支承一边自由的矩形板弯曲许琪楼姜锐龙晔君(郑州工业大学土建系)(河南省轻工业学校)摘要采用统一的计算模式解决了三边支承一边自由的6种矩形板在板面作用均布荷载、三角形分布荷载,自由边作用分布剪力、分布弯矩、集中力或集中弯矩,简支边作用分布弯矩或集中弯矩时的弯曲。计算表明:这种解法收敛速度快、计算精度高。关键词弹性薄板弯曲;矩形板中图分类号TU311·4图1所示边长为a、
2、b的六种矩形板,三边支承(简支或固定),一边自由。对AB、CD为简支边的矩形板弯曲可以采用李维解法,对三边固定一边自由的矩形板弯曲,Goriapp在李维解法的基础上叠加一项附加挠度使问题得以解决(见文献[1]),其它矩形板弯曲尚无可行的求解方法。本文采用一种统一的求解模式可以解决这六种矩形板在板面分布荷载和板边分布荷载作用下以及在自由边作用集中力或集中力偶、简支边作用集中力偶时的弯曲。本文的统一解法与经典的李维解法是相通的,同时还克服了李维解法存在的某些局限性。1板面分布荷载作用下的弯曲在板面法向分布荷载作用下挠度W应满足下列平衡微
3、分方程:444WWWq(xy)4+222+4=(1)图1边长为a、b的六种矩形板xxyyD3Et式中D为板的抗弯刚度,D=2,其中E、分别为板的弹性模量及泊松比,t为12(1-)板厚。设W=W1+W2(2)W1为方程(1)所对应的齐次方程的通解,W2为方程(1)的一个特解。为表示板的双向*河南省自然科学基金资助项目收稿日期:1997-01-136郑州工业大学学报1997年弯曲变形,通解W1是包含8个待定常数的双向单三角级数,取W1=(Amshy+Bmchy+Cmyshy+Dmychy)sinx+m
4、=1,2,3(Enshx+Enchx+nxshx+Hnxchx)siny(3)n=1,3,5mn式中=,=,Am,Bm,Cm,Dm,En,Fn,Gn,Hn为8个待定常数。W1表达式中采用a2bmn了级数sinx和siny,前者在x=0和x=a时其值为零,符合二边界均为支m=1,2,3an=1,3,52b承边的变形特点;后者在y=0时级数值为零而在y=b时级数值不为零,符合一边界为支承边另一边界为自由边的变形特点。这二个级数分别在[0,a]和[0,b]区间上具有下列正交性:当i,j为任意正整数时,有0
5、(i≠j)aixjx∫sinsindx=a(4)0aa(i=j)2当i,j为任意正奇数时,有0(i≠j)biyjy∫sinsindy=b(5)02b2b(i=j)2特解W2除满足平衡微分方程外,在每条边界上至少要满足一个边界条件,应满足的条mx件与通解W1所采用的级数形式有一定的对应关系。在x=0和x=a时,级数sinm=1,2,3a的零阶导数和二阶导数值为零,这要求W2在x=0和x=a时应满足相应x的零阶导数或ny二阶导数的边界条件,且要优先满足低阶导数的边界条件。而级数sin在y=0时n=1,3,52b零阶导
6、数和二阶导数值为零,在y=b时一阶导数和三阶导数值为零,要求W2在y=0时应满足相应y的零阶导数或二阶导数的边界条件,在y=b时应满足相应y的一阶导数或三阶导数的边界条件,其理由见后文分析。W2在边界上应满足下列边界条件:x=0时,W2=0x=a时,W2=0y=0时,W2=0(6)33W2W2y=b时,3+(2-)2=0yxy当板面作用均布荷载q时,取:q22W2=(x-ax)(y-2by)(7)8D当板面作用图1所示沿x方向变化的三角形分布荷载时,取:q322W2=(x-ax)(y-2by)(8)24Da当板面作用图1
7、所示沿y方向变化的三角形分布荷载时,取:(2-)q32y4W2={y(x-ax)-x-12D(3-2)b2(2-)322322ax+6b(2-)x+[a-6ab(2-u)]x}(9)W表达式中的待定常数可由四边的边界条件唯一确定。第3期许琪楼等三边支承一边自由的矩形板弯曲7由x=0,x=a,y=0时W=0及y=b时Vy=0的边界条件,有Fn=0(10)Ensh+Ench+Gnsh+Hnch=0(11)Bm=0(12)3Am(-1)chb+Bm(-1)shb+Cm[(+1)shb+(-1
8、)bchb]+Dm[(+1)chb+(-1)bshb]=0(13)其它边界条件所对应的线性方程见表1所示。表1边界条件和荷载条件对应的方程式方程式边界条件荷载条件方程式左端系数项左端常数项编号qa均布荷载14-1(C2-
