泰山学院数学与系统科学系教案

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1、泰山学院数学与系统科学系教案教研室：教师姓名：年月日课题§2-1群的定义和初步性质课时本节课时本章课时328教学目的理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法，熟练掌握群的基本性质。重点难点重点：群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法，群的性质。难点：群的判定，群的性质。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课型新授课教学过程与内容备注一、基本概念定义1设是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足以下条件：1）结合律成立，即对中任意元素都有；2）中有元素，叫做的左单位元，它对中每个元素都有；3）对中每

2、个元素，在中都有元素，叫做的左逆元，使；则称对代数运算作成一个群。如果对群的任二元素均有，则称为交换群或Abel群。否则称为非交换群或非Abel群。常见群的几个例子：①非零有理数乘群：全体非零有理数关于数的普通乘法作成的群。②正有理数乘群：全体正有理数关于数的普通乘法作成的群。③数域F上的一般线性群：数域F上全体阶满秩方阵关于矩阵的乘法作成的群。④次单位根群：全体次单位根对于数的普通乘法作成的群。群的阶：设是一个群，那么集合中含元素的个数称为群的阶.简记为。如果+∞，称为有限群，否则当+∞时，称为无限群.譬如：是无限群，而是有限群.二、群的性质定理1群的元素的左逆元也是的一个右逆元

3、，即有。定理2群的左单位元也是的一个右单位元，即对群中任意元素均有。定理3群的单位元及每个元素的逆元都是唯一的。推论1在群中消去律成立，即，。三、群的等价定义及其判别定义2设是一个非空集合，如果它有一个代数运算满足结合律，则称是一个半群。如果半群中有单位元（既是左单位元又是右单位元），则称为有单位元的半群，或简称为幺半群。定理4设是一个半群，则作成群的充分必要条件是：1）有右单位元：即对中任意元素都有；2）中每个元素都有右逆元：。定理5设是一个半群，则作成群的充要条件是：对中任意元素，方程，在中都有解。推论2有限半群作成群的充分必要条件是：在中两个消去律成立。备注作业教学后记泰山学

4、院数学与系统科学系教案教研室：教师姓名：年月日课题§2-2群中元素的阶课时本节课时本章课时328教学目的理解并掌握元素阶的定义，熟悉元素阶的性质并会熟练掌握及应用。重点难点重点：元素阶的定义与性质。难点：元素阶的性质。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课型新授课教学过程与内容备注一、元素阶的定义定义1设是群的一个元素，使的最小正整数，叫做元素的阶。记作。例1加法群中，是单位元，，。例2加法群中，0是单位元，，而其它元素，。例3乘法群中，1是单位元，，而其它元素的阶都是无限。定理1有限群中每个元素的阶均有限。例4定义2若群中每个

5、元素的阶都有限，则称为周期群；若中除外，其余元素的阶均无限，则称为无扭群；既不是周期群又不是无扭群的群称为混合群。二、元素阶的性质定理2设群中元素的阶是，则。定理3若群中元素的阶是，则，其中为任意整数。推论1在群中设，则，其中是正整数备注推论2在群中设，则。定理4若群中元素的阶是，的阶是，则当且时，。定理5设为交换群，且中所有元素有最大阶，则中每个元素的阶都是的因数，从而群中每个元素均满足方程。注：①定理4中条件“”必不可少。②定理5中条件“为交换群”是必要的。作业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室：教师姓名：年月日课题§2-3子群课时本节课时本章课时428教学目的理解

6、并掌握子群的概念，理解子群的充要条件及判定方法和构造群的子群的方法。重点难点重点：子群的概念，群的子集构成子群的充分必要条件以及判定方法。难点：群的子集构成子群的充分必要条件以及判定方法。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课型新授课教学过程与内容备注一、子群的定义和性质定义1设是一个群，而，如果关于中的乘法本身也能作成群，则称是的一个子群，记为。群至少有两个子群、，这两个子群称为群的平凡子群。如果除了平凡子群外还有其他子群，那就称为的真子群，记为。例1设是整数加群，而一切偶数构成的集合为，其中：，那么关于整数的加法有。事实上，任取

7、一个整数，那么为一切的倍数构成的集合，可知。例2数域F上全体阶满秩对角阵的集合是的一个子群；F上一切纯量矩阵的集合又是的一个子群，当然也是的一个子群。定理1设是群，。则子群的单位元就是群的单位元，中元素在中的逆元就是在中的逆元。二、子群的判定定理2群的一个非空子集作成子群的充分必要条件是：1）；2）。定理3群的非空子集作成子群的充分必要条件是。注：群的有限子集作成子群的充分必要条件是：对的乘法封闭。例3令为数域F上行列式等于1的全体阶方阵作成的集合，则关于矩阵的乘法作