东大高数2011—2012 学年第2学期答案

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1、高等数学①(二)参考答案2012.7.12一、单项选择题（每题4分，共16分）1．D；2．B；3．D；4．A..二、填空题（每题4分，共16分）xyz31412y731．；2．dyf(x,y)dx；3．2a；4．.011y23842三、计算下列各题(56=30分)222xyuu1．已知ufxy,e，其中f具有二阶连续偏导数，求，.xxy解u2exffxy，u2eyfxyf.………………………………….3分1212xy2u2[(2)xf

2、yfe]exyxyfe[(2)xyfyfe]xy111222122xyxy22xyxy42xyf()xyeeffef.…………………….6分111222222222．计算(2x3yzdv)，是半球面zx2y和旋转抛物面zxy围成的立体.解(2x3yzdv)=zdv……………………………….2分2212r=drdrzdz………………………………4分00r21124=2[rrr(2)]dr027=.…………………

3、…………….6分123．求平行于平面6x+y+6z+5=0，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面方程.解设所求平面方程为6x+y+6z=D,则1DD

4、

5、D1666

6、D

7、=6故所求平面方程为6x+y+6z=6或6x+y+6z=6.n1(1)2n14．求幂级数x的收敛域与和函数.n12n1n(1)21nx21n2解()limxx1，即

8、x

9、<1n1n(1)21nx21nn(1)x=1时，收敛，故收敛域为[1,1].n12n11n1n1(1

10、)21nx(1)21nx1sx()xxdx2dxarctanx.(

11、x

12、1).n121n0n121n01x225．求()xyzdS，式中是平面y+z=5被柱面xy25所截得的有限部分.解()xyzdS=(5x)dS2=(5x)1(1)dxdy22xy25=1252.32222四、(8分)计算积分Ixdydzydzdxzdxdy，是柱面x+y=a在0zh部分的外侧.222解设1：z=0(x+ya)下

13、侧；2222：z=h(x+ya)上侧3232Ixdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy12122(3x2y1)dxdydz0dxdyhdxdyxya222xya222h223xdxdy0dzdxdydzahxya2223h2222()xydxdyahah2222xya33h2a34drdrah.24002222五、(8分)在抛物线:zxy1上求一点M(x,

14、y,z)(x0,y0,xy1)使在M处的切0000000002平面与柱面y1x及三个坐标面在第一卦限的立体体积最大.解过M点的切平面方程为02x0(x–x0)+2y0(y–y0)–(z–z0)=022即2xx2yyzxy10000立体的体积为2222Vx(2x2yyxyd1)xdyD:x0,y0,xy10000D222Vxyxy()(1)。00003422Vx0，Vy0，x0320y03204432故所求的点为(,,1).2339

15、2222六、(8分)已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x+y=2x到点(2,0),再沿圆周x+y=4到点(0,2)的曲线段。223计算曲线积分I3(2xydxxxydy).L解补充L1：x=0,y从2到0，由L和L1围成的平面区域记为D，由格林公式2323I3(2xydxxxydy)3(2xydxxxydy)LL11L0dxdy(2)ydy4.22Dn1n七、(8分)设an>0(n=0,1,2,),数列{an}单调减少，级数(1)an发散，判断级数

16、()的敛散性。n1n11ann解由题设an>an+1，若liman0，则交错级数(1)an收敛，与题设矛盾，故nn1limal(l>0).nnn11由根值法，有limn1，故级数收敛.n11aln八、(6分)设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离成正比(比例常