正交矩阵的有关结果

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1、正交矩阵的有关结果一、定义：设是阶矩阵，若，则称矩阵为正交矩阵。由定义容易验证：(1)正交矩阵的每一行(列)元素的平方和等于1；(2)不同行(列)对应元素的乘积等于0。二、性质：1、若是正交矩阵，则。2、设是阶正交矩阵，证明：(1)如果，则的每一元素等于它自己的代数余子式；(2)如果，则的每一元素等于它自己的代数余子式的负值。证明：由定义知：，而，所以。又，所以。从上式得需要的结果。3、设是阶实矩阵，证明：(1)如果，且的每一元素等于它自己的代数余子式，则是正交矩阵；(2)如果，且的每一元素等于它自己的代数余子式的负值，则是正交矩阵。证明

2、：(1)因为，所以是正交矩阵。类似可以证明(2)。4、设是阶实矩阵，，且。证明：(1)如果的每一元素等于它自己的代数余子式，则是正交矩阵；(2)如果的每一元素等于它自己的代数余子式的负值，则是正交矩阵。证明：由的每一元素等于它自己的代数余子式，得：。两边取行列式得：，所以(*)。因为，所以至少有一个元素不等于零。不妨设，则而，则从(*)式得。从性质3结果知是正交矩阵。类似可以证明(2)。5、设是一个阶正交矩阵，证明：（1）如果有特征值，则的特征值只能是1或；（2）如果，则是的一个特征值；（3）如果，且是奇数，则1是的一个特征值。证明：(1

3、)设是矩阵的一个特征值，是对应的特征向量，则。从而　　(*)由于是正交矩阵，所以。从而由(*)式得：。因为，所以。因此，即。(2)所以，即是的一个特征值。(3)由此得。6、已知正交矩阵有二个不同特征值，证明的属于不同特征值的特征向量一定正交。证明：由性质5知：。因为正交矩阵有二个不同特征值，所以这二个不同的特征值分别为1和。设这二个特征值对应的特征向量分别为，则。由此得：从而，即正交。