线性代数(工)A(07-08上)参考答案

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1、2007–2008第一学期线性代数（工）期末考试试卷（A）参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分）1.20；2.；3.-3；4.3，或等；5.；6.1，-1；7.-4/5

2、似的充要条件是它们有相同的特征多项式。解：错误。（2分）两个矩阵相似，则它们有相同的特征多项式；反之有相同特征多项式的矩阵不一定相似。例如，，两者矩阵相同的特征多项式，但与单位阵相似的矩阵只有它自己。（2分）4.设非齐次线性方程组的导出组只有零解，则只有唯一解。解：错误。（2分）非齐次线性方程组有解的充要条件是，只有在保证有解的前提下，若只有零解，则只有唯一解。（2分）三、计算题1.计算行列式解：因为（5分）所以原式中令（8分）故原式。（10分）2.解：记，对做初等行变换得（3分）故当时，时，，所以（1）当时，不能由线性表示。（5分）（

3、2）当时，可由线性表示，且此时若，则由的表出式唯一，即；而当时，由的表出式不唯一，其满足方程组，其中为任意常数，（8分）即此时有。（10分）1.解：由经过恒等变形得,因可逆，上式左乘,右乘，得,（4分）又,代入上式有（7分）左乘得。（10分）4.解：（1）设过渡矩阵为，则,于是（4分）（2）设在基下的坐标为，在基下的坐标为则，代入，解得：（7分）又因为于是故（10分）5.解：（1）设对应的的特征值为，则是的解，即有（2分）即，解得：。（5分）（2）由（1）知，故特征多项式为即（三重）是的特征值。（7分）但,故的解向量是1维的，所以没有三

4、个线性无关的特征向量，从而不能相似于对角阵。（10分）四、证明题证明：设有线性组合，整理得（1）（2分）左乘,因故有因,故，代入（1）式得（5分）又由于是齐次线性方程组的一个基础解系，故它们线性无关，所以必有（7分）再代回中知因此向量组线性无关。（10分）