永久期权价格的闭形式解和最优停时

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1、第7卷第10期2007年5月科学技术与工程Vol17No110May2007167121819(2007)1022191204ScienceTechnologyandEngineering2007Sci1Tech1Engng.论文数学永久期权价格的闭形式解和最优停时方卫东丁志敏(华南理工大学数学科学学院,广州510641)摘要考虑一个金融市场模型,其中标的股票由Lévy过程和常利率驱动。永久看涨(看跌)美式期权价格的闭形式解由Lévy过程的上确界(下确界)表示。作为上述结论的一个推论,对于带有正(负)混合伽马跳跃和任意负(正)

2、跳跃的Lévy过程,给出了永久看涨(看跌)美式期权价格的闭形式解和最优执行时间。关键词Lévy过程混合伽马分布永久期权最优停时无穷小生成元中图法分类号:O211.9考虑一个金融市场模型,有储蓄存款账户B={Bt}t≥0和股票S={St}t≥0两项资产,其中B是1混合伽马分布rt确定的:Bt=e,r≥0,B0=1,而股票S是随机的:StXn=tS0e,S0>0,X={Xt}t≥0是一个Lévy过程,我们给定a=(a1,⋯,an),满足∑ak=1,ak>0,称这样一个模形为一个Lévy市场。k=1为了得到永久期权的价格和最优执行时

3、间,需要对于k=1,⋯,n,α=(α1,⋯,αn),满足0<α1<α2解决一个最优停时问题。令M是关于F=(Ft)t≥0<⋯<αn;m∈N。记的所停时τ的集合,给定一个Borel函数G:R→R、一nmα(y;a,α,m)=km-1-αky个随机过程hn∑akye,y≥0X和一个贴现率r≥0,那么最优停时问题k=1(m-1)!3就是寻找一个实函数V和一个停时τ使得(2)-τr-τr3V(S0)=τs∈uMpE(eG(Sτ))=E(eG(Sr3))是参数分别为α1,⋯,αn的n个伽马随机变量相3成立,则函数V就是永久期权的价格,停

4、时τ混合的密度涵数,混合系数分别为α1,⋯,αn。密度就是最优执行时间。函数为hn(y;a,α,m)的一个随机变量称为一个混寻找关于永久看涨和看跌美式期权的最优停时合伽马随机变量。间问题的解,其中永久期权的对数价格是一个Lévy过程。给定X和r≥0,考虑:M=supXt,I=infXt(1)2永久期权的资产的跳跃分布0≤t<τ(r)0≤t<τ(r)(1)式中τ(r)是一个参数为r>0的指数随机变量,与X独立,且τ(0)=∞,在r=0和r>0的情形下,为了得到永久期权价格的闭形式解,我们需要M和I分别称为X的上确界和下确界。刻画

5、标的资产的跳跃分布。如果q∈R,Lévy-2006年12月29日收到Khinchine公式为:2192科学技术与工程7卷iqXt)=exptibq-122iqy0、条件E(eσq+(e-1-2R∫∞1k′(0-)=limk(p)=a+∫yπdy-p→0-p1iqh(y))∏)。nmakλ∑>0。其中:h(y)=y1{

6、y

7、<1}是截断函数;b和σ≥0是实k=1αk常数;∏是R-{0}上的正测度,且使∫(1∧满足时,方程k(p)=0在(-α1,0]上有一个负根-p1,0

8、度;三元组(b,)k(-p1+Δp)-k(-p12k′(-p1-)=lim=σ,∏)是过程X的特征三元组,完全决定了X的Δp→0-Δp∞n分布。我们总是假设过程X是非退化的,即σ≠0或2-p1ya-p1σ+0∫(ye-h(y)π)dy-λ∑k=1akE∏≠0。mmαkm+1>0(-p1+αk)3带有混合伽马跳跃的永久期权的定价和满足时,方程k(p)=0在(-α1,-p1]上有一最优执行时间个负根-p2,p1

9、<⋯0(3)<⋯0进一步,我们观察到当r>0时,方程k(p)=r(3)式中:π(dy)是(0,∞)上的任意Lévy测度。X有mn+1个负根-p1,-p2,⋯,-pmn+1,且满足上具有混合伽马负跳跃和任意正跳跃。式。经

10、过简单计算,过程X的特征指数为:定理1:对于Lévy测度为(3)式的Lévy过程X。∞ψ(q)=iaq-1σ2q2+∫eiqy-1-假设r≥0,或者r≥0且k′(0-)>0,k′(-pj-)>200,j=1,2,⋯,mn,令nmαkmn+1iqh(y))π)dy+λαk-1(