随机波动率与跳组合情形的期权问题闭式解

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1、万方数据应用概率统计第二十卷第三期2004年8月ChineseJournalofAppliedPI’obabilitya：lfldStatisticsV01．20No．3Aug．2004随机波动率与跳组合情形的期权问题闭式解木杨招军黄立宏(湖南大学数学与计量经济学院，长沙，410082)摘要嗣绕著名Black—S(：holes模型的推广，当前学术界有两种途径：一是允许波动率为随机的；二是引入随机跳．实证表明，虽然随机波动率模型稍好，但二者效果都不太理想．为能更真实地反映资产价格变动的规律，本文首次引入对数正态随机波动率过程与一个复合Poisson过程组合的资产价格动态模型，并得到了该

2、模型下欧式看涨期权定价的闭式解．关键词：对数正态随机波动率，复合Poisson过程，欧式期权定价，闭式解．学科分类号：0211．6．§1．引言在资产价梓}变动服从常值波动率的几何布朗运动的假设下，著名经济学家RobertC．．Mel’tOll、M)．1011S．跚holes和已故的Fisrll0,I‘B1Ⅲ’kr1973年发现了欧式看涨期权(Europeancalloption)的定价方法(简称B—S模型)．该方法是期权发展史上的里程碑，它为期权乃至其他衍生证券的定价打下了坚实的基础，使得原本空洞的期权定价在理论上有了依据．Merton和Scholes因此而获1997年度的Nobel

3、经济学奖．然而，大壤金融统计数据表明B—S模型与实际情形存在系统偏差，其中主要的两种不一致现象是：(1)一=IB—S模型确定的无条件报酬分布的峰度过小；(2)实际观测到的资产价格分布的两条拖尾曲线都比B．S模型假没的对数正态分布要宽，即存在隐含波动率“微笑”(impliedvolatilitysmile)的现象．为改进B—S模型、达到与实际相符的目的，目前文献上提出了许多方法，主要集中于如下两方面的推广：一是对于报酬过程引入随机跳，得到跳一扩散模型，例如，Merton[8]，Aase[1]，Frey[3】等；二是假设波动率是随机的，得到随机波动率模型，即允许报酬过程的波动率表现为某种

4、随机过程，例如，Hull＆White[5]，Maghsoodi[7】，Ronlano＆Touzi等，相对完整的论述可见AlanL．Lewis于2000年出版的最新专著“OptionValuationunderStochasti(：、．"olatilit3·”．但实证表明(参见DaS&Sundaram[2])：虽然随机波动率假设更接近真实，二者效果均不太理想．容易想到，随机波动率模型与跳扩散模型各有优缺点：跳一扩散模型能很好地刻划各种重大突发．粤件对资产价恪的影响，如新的发明发现、突发战争、自然灾害、新的经济政策的宣布实行、以及国际国内形势的突然变化等因素对资产(如股票)价格产生的剧烈

5、影响，纯粹的随机波动率模型是不能迅速反映这种影响的；另一方面，在没有重大事件到来时，跳一扩散模型中的常值波动率与实际相违背，这已成为不争的事实，此时，随机波动率模型却能较好地解释资产价格的变化．因此有充足的理由认为，将跳一扩散模型与随机波动率模型组合得到的模型更能充分地反映资产价格的变化规律．然而，在文献上我们还没有发现对这种组合模型的讨论，我们认为这是囚为：即使仅仅是随机波动率模型，一般也是很难得到闭式解的，而要得到这种组合模型的闭式解显然要困难得多．下面我们在第二节引入这种组合模型，其中随机波动率为对数正态过程，而随机跳部分为相应平稳Poisson点过程的复合Poisson过程，

6、同时在第二节也给出了一些重要的引理；在第三节给出该模型下欧式看涨期权定价的闭式解．+湖南省自然科学基金资助项目．奉史2002年1月25日收到，2003年10月29日收到修改稿万方数据230应用概率统计第二十卷52．模型及若干引理给定具有滤子的概率空间(Q，，，(五)o

7、t，(2．2)其中tI、0’』仃为常数(r7>())：过程W=(m)o≤￡≤T与B=(B￡)o≤，≤7、为(乃)适应的、．与：不相关的标准砷i朗运动；过程曰=(R，)(，s『