单质点拉格朗日方程推导

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1、1、势能和有势力包含质点的系统，如引力场和该引力场中的质点、静电场和该电场中的具有质量的点电荷、弹簧和固定在弹簧末端的质点，具有一种仅和位置坐标ݔ相关的能量，我们称作势能，记作U(ݔ)。当位置发生微小变化dݔ时，势能的变化dU应与质点本身克服某种“力”F做功dW有关，即：dUൌdWൌെFdݔ(1.1)上式中的F就是这个力。这种“力”就是引力场对质点的引力、静电场对带电质点的电场力、弹簧对质点的弹力。因为质点需要克服这种力做功，也就是质点对引力场、电场、弹簧的作用力是上力的反作用力，所以前边需要添加一个负号。（牛顿第三定律）由上式可得

2、F的表达式：UFൌെ(1.2)௫可见这个力是由势能沿位置坐标变化引起的，所以也称作有势力，它的大小等于势能的变化率。上面的分析也适合三维空间的情形。只不过(1)应该改写为矢量形式：dUൌdWൌെ۴Ԧ·dܛሬሬሬሬԦ(1.3)相应地(1.2)应该改写为梯度形式，直角坐标系下为：பUபUபU۴ԦൌെસUൌെቀ܍ො௫൅܍ො௬൅܍ො௭ቁ(1.4)ப௫ப௬ப௭(1.4)表明有势力的方向是沿势能增加最快的方向，大小等与该方向上的方向导数。其中સ为哈密尔顿(Hamilton)算符，直角坐标系下为：பபபસൌ܍ො௫൅܍ො௬൅܍ො௭(1.5)ப௫ப௬

3、ப௭Hamilton算符સ具有以下特点：可以作用在标量上也可以作用在矢量上，并遵守矢量运算法则；是微分运算符，对其他变量做微分运算。Hamilton算符સ作用在标量上，就如(1.4)所示的结果。U按标量与矢量的乘法“右乘”સ的每个分量，当然并不是“乘”，而是分配给સ的每个分量做偏微分。Hamilton算符સ作用在矢量上，也有“点积”和“叉积”两种，前者的结果是一个标量，后者的结果是一个矢量。“点积”સ·ۯሬሬԦ公式如下：பபபસ·ۯሬሬԦൌቀ܍ො௫൅܍ො௬൅܍ො௭ቁ·൫ܣ௫܍ො௫൅ܣ௬܍ො௬൅ܣ௭܍ො௭൯ப௫ப௬ப௭ப஺ப஺೤ப

4、஺೥ൌ൅൅(1.6)ப௫ப௬ப௭સ·ۯሬሬԦ称作散度，物理意义是封闭的曲面上矢量的面积分与面积之比，当面积趋近于零时的极限。“叉积”સൈۯሬሬԦ公式如下:பபபસൈۯሬሬԦൌቀ܍ො௫൅܍ො௬൅܍ො௭ቁൈ൫ܣ௫܍ො௫൅ܣ௬܍ො௬൅ܣ௭܍ො௭൯ப௫ப௬ப௭܍ො௫܍ො௬܍ො௭பபபൌተተப௫ப௬ப௭ܣ௫ܣ௬ܣ௭ப஺೥ப஺೤ப஺ப஺೥ப஺೤ப஺ൌቀെቁ܍ො௫൅ቀെቁ܍ො௬൅ቀെቁ܍ො௭(1.7)ப௬ப௭ப௭ப௫ப௫ப௬સൈۯሬሬԦ称作旋度。很显然，当质点在三维空间走过一个封闭曲线时，有势力做功为零，同样质点克服有势力做功也为零。进一步分析，

5、还可以知道引力场中的质点所受的引力和质点的质量成正比，同样电场中的带电质点所受的力与质点所带电荷成正比，而引力与质点质量之比、电场力与质点所带电荷之比是一个仅和位置有关而与质点无关的量。有时也称这个量为“势”，相应的，引力场叫“引力势”，静电场叫“电势”或“电场强度”。弹簧的具有的弹性势能与质点无关，只和弹簧末端位置有关，所以和“弹性势”是一回事。注意，不同的“势”物理单位不一定相同，也就是说不同的势可能有不同的量纲。注意区别“静电场”和非静电场。前者电场每一点的电势不随时间改变，仅和坐标有关。非静电场则不是，比如变化的磁场产生的电

6、场的电力线是一个封闭的曲线，因此也称作涡旋电场，当带电质点沿电力线转一周时，电场力做功不为零。2、广义势为了解决变化的电磁场问题，需要考虑运动带电质点在电磁磁场下的作用力，也就是洛伦兹（Lorentz）力作用下的情况。洛伦兹力满足：ଵFሬԦൌqቀ۳ሬԦ൅࢜ሬԦൈ۰ሬሬԦቁ(2.1)ୡ其中۳ሬԦ为电场强度，۰ሬሬԦ为磁感应强度。由于没有磁单极存在，即۰ሬሬԦ是无源有旋场，散度为零。સ·۰ሬሬԦൌ0(2.2)所以۰ሬሬԦ应是有旋场的旋度，即总能找到一个矢量场ۯሬሬԦሺ࢘ሬԦ,ݐሻ，使得۰ሬሬԦൌસൈۯሬሬԦ(2.3)ۯሬሬԦ是电磁场的矢

7、势。物理意义：在任意时刻，矢势沿任意一闭合回路的线积分等于该时刻通过该回路的磁通量。而EሬԦ的来源有两个，一个是电荷，一个是变化的磁场，对于后者，可用下式表示：ଵ૒۰ሬԦଵபۯሬԦસൈ۳ሬԦൌെൌെસൈ(2.4)ୡ૒࢚ୡபܜ因此，有：ଵபۯሬԦસൈቀ۳ሬԦ൅ቁൌ૙(2.5)ୡபܜபۯሬԦ说明۳ሬԦ൅是无旋场。可以引入一个标量φሺ࢘ሬԦ,ݐሻ，使得：பܜଵபۯሬԦEሬԦൌെસφെ(2.6)ୡபܜφ就是电磁场的标势。注意到对于任意矢量ۯሬሬԦ，有ۯሬԦபۯሬԦൌ൅ሺ࢜ሬԦ·સሻۯሬሬԦ(2.7)௧ப࢚并且有以下的矢量乘法公式：࢜ሬԦൈ൫

8、સൈۯሬሬԦ൯ൌસ൫࢜ሬԦ·ۯሬሬԦ൯െሺ࢜ሬԦ·સሻۯሬሬԦ(2.8)得：ଵଵபۯሬԦଵFሬԦൌqቀ۳ሬԦ൅࢜ሬԦൈ۰ሬሬԦቁൌqቆെસφെ൅࢜ሬԦൈ൫સൈۯሬሬԦ൯ቇୡୡபܜୡଵபۯሬԦଵଵபۯሬԦଵۯሬԦൌqቀെસφെ൅સ൫࢜ሬ