拉格朗日方程的三种推导方法

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1、拉格朗日方程的三种推导方法1引言拉格朗日方程是分析力学中的重要方程，其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。2达朗贝尔原理推导达朗贝尔原理由法国物理学家与数学家让•达朗贝尔发现并以其命名。达朗贝尔原理表明：对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总合为零。即：δW=iFi+Ii∙δri=0(1)其中Ii为惯性力，Ii=-miai。Fi为粒子所受外力，δri为符合系统约束的虚位移。设粒子 Pi 的位置 ri 为广义坐标q1,q2,⋯,qn与时间 t的函数：ri=ri(q1,q2,⋯,qn,t)则虚位移可以表示为：δri=j∂ri∂qj

2、δqj(2)粒子的速度vi=vi(q1,q2,⋯,qn,q1,q2,⋯,qn,t)  可表示为： 取速度对于广义速度的偏微分： (3)首先转化方程(1)的加速度项。将方程(2)代入： 应用乘积法则：注意到  的参数为  ，而速度  的参数为  ，所以，  。因此，以下关系式成立： (4)将方程(3)与(4)代入，加速度项成为 代入动能表达式：， 则加速度项与动能的关系为 (5)然后转换方程(1)的外力项。代入方程(2)得：(6)其中 是广义力： 将方程(5)与(6)代入方程(1)可得： (7)假设所有的广义坐标都相互独立，则所有的广义坐标的虚位移也都相互独立。由于这些虚

3、位移都是任意设定的，只有满足下述方程，才能使方程(7)成立： (8)这系统的广义力与广义位势  之间的关系式为 代入得： 定义拉格朗日量  为动能与势能之差，可得拉格朗日方程： 1哈密顿原理推导哈密顿原理可数学表述为：在等时变分情况下，有(1)由拉格朗日量定义得，在等时变分情况下有(2)其中第一项可化为：(3)将(3)代入(2)得(4)将(4)代入(1)得(5)在处，所以(5)变为(6)即(7)q是独立变量，所以拉格朗日方程：1欧拉-拉格朗日方程推导欧拉-拉格朗日方程可以表述为：设有函数  和  ：  其中 是自变量。若存在  使泛函  取得局部平稳值，则在区间  内对

4、于所有i，皆有：若设独立变量  为时间  ，函数  为广义坐标  ，泛函  替换为拉格朗日量 ，则可得到拉格朗日方程