第6讲 高等数学(六)(2010新版)63257

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1、二连续（一）函数的连续性与间断点1．函数的连续性设f（x）在x0的某邻域内有定义。若（x）=f（x0），则称f（x）在x0连续;若,则称f（x）在x0左连续；若，则称f（x）在x0右连续。若函数f（x）在区间I上每一点都连续，则称f（x）在该区间上连续。特别，当I=[a,b］时,f（x）在[a，b]上连续，是指f（x）在（a，b）内每一点处连续，且在a处右连续,在b处左连续。2．函数的间断点由函数在一点连续的定义可知,函数f（x）在一点x0处连续的条件是:（1）f（xo）有定义；（2）（x）存在；（3）（x）=f（x0）。若上述条件中任何一条不

2、满足,则f（x）在x0处就不连续，不连续的点就称函数的间断点。间断点分成以下两类：第一类间断点：x0是f（x）的间断点，但f（x0-）及f（x0+）均存在；第二类间断点：不是第一类的间断点。在第一类间断点中，若`均存在但不相等,则称这种间断点为跳跃间断点；若f（x0-）,f（xo+）均存在而且相等，则称这种间断点为可去间断点。（二）初等函数的连续性1．基本初等函数和初等函数幂函数、指数函数、时数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。2

3、．初等函数的连续性一切初等函数在其定义区间内都是连续的，这里的“定义区间”是指包含在定义域内的区间。（三）闭区间上连续函数的性质设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则（l）f（x）在［a，b］上有界（有界性定理）;（2）f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值（最大值最小值定理）;（3）当f（a）f（b）<0时，在（a，b）内至少有一点ξ，使得f（ξ）=0（零点定理；（4）对介于f（a）=A及f（b）=B之间的任一数值C，在（a,b）内至少有一点ξ，使得f（ξ）=C（介值定理）。【例1-2-15】设函数在x=0处连续，则常数a（≠0）与b应

4、满足何种关系。【解】由f（x）在x=0处连续的充要条件现在故应有a=b。【例1-2-16】x=0是函数arctan的（A）第二类间断点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）连续点【解】因为f（0+）≠f（0-），故应选（C）。【例1.2.17】方程x-cosx-1=0在下列区间中至少有一个实根的区间是（A）（∞,0）（B）（0，π）（C）（π，4）（D）（4,+∞）【解】记f（x）=x-cosx-1，则f（0）＝-2<0,f（π）＝π＞0，又f（x）在[0，π]上连续，由零点定理知，应选（B）。三、导数（一）导数概念1．导数的定义设函数f（x）

5、在x0的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数f（x）在xo处可导，并称此极限为f（x）在x0处的导数，记成。若f（x）在区间工内处处可导，则对每一x∈I，都对应一个导数值，这就构成了一个新函数，这个函数叫做函数f（x）的导函数（也简称作导数），记作y,，或,或f,（x）。2．导数的几何意义f（x）在x0处的导数f'（x0），在几何上表示曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率。由此可知曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为其中y0＝f（x0）。若f'（x0）≠0，则曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的法线方

6、程为（二）基本求导公式和求导法则1．基本求导公式2．函数的和、差、积、商的求导法则设u=u（x）、v=v（x）均可导，则（1）（u±v）’=u’±v’（2）（Cu）’=Cu’（C是常数）（3）（uv）’=u’v+uv’（4）3．反函数的求导法则若x=φ（y）在区间Iy内单调、可导且φ’（y）≠0，则它的反函数y＝f（x）在对应的区间Ix内也可导，且即4．复合函数的求导法则设y=f（u）、u=φ（x）均可导，则复合函数y=f[φ（x）]也可导，且5．隐函数的求导法则设方程F（x，y）＝0确定一个隐函数y=y（x），Fx、Fy，连续且Fy≠0，则隐

7、函数y=y（x）可导,且6．由参数方程所确定的函数的求导法则若函数y=y（x）由参数方程所确定，且x=φ（t）、y=ψ（t〕都可导，φ’（t）≠0，则