矩阵Sylvester不等式与Frobenius不等式等号成立的条件

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1、第30卷第2期南京气象学院学报Vol.30No.22007年4月JOurnalofNanjingInstituteofMeteorologyAPr.2007矩阵Sylvester不等式与Frobenius不等式等号成立的条件黄卫红，杨兴东，周月军(南京信息工程大学数理学院，江苏南京ZllXM4)摘要:利用矩阵分块，给出了Sylvester不等式等号成立的充要条件和Frobenius不等式等号成立的充分条件，并给出了判别等号成立的算法算例。关键词:Sylvester不等式;Frobenius不等式;矩阵分块中图分类号:0151.21文献标识码:A文章编号:1000一

2、2022(2007)02习279一05ConditionsfortheEqualitySigninSylvesterInequalityandFrobeniuslnequalityHUANGWei一hong，YANGXing一dong，ZHOUYue一1111(SchoolofMathematicsandPhysics，NL几ST，N咧ing210044，China)litiAbstract:Byusingmatrix一blocking，thisPapergivesthenecessaryandsufficientonfofthe.mequatitysignint

3、heSylvesterinequalitv，andthesufficientconditionfortheequatitysigntheFrobe-niusinequality，andthecorresPondingalgorithmandexamP1eareaisogiven.Keywords:Sylvesterinequality;Frobeniusinequatity;block一matrix0引言矩阵的秩是矩阵诸多数量特征中既抽象又本质的特征之一，人们已经获得了一系列不等式，其中Syl-vester与Frobenius不等式占有重要地位[‘4]，然而对矩阵

4、秩的等式的研究不多，GroB〔’〕给出了rankABCX)二rank(‘，有解的充要条件及其解的表达式，史及民〔‘J给出三幂等阵等特殊矩阵之积的秩的等式，胡付高川通过判定某些矩阵方程有解，给出sylveste:不等式等号成立的充要条件。本文则利用矩阵分块，给出sylvester不等式等号成立的充要条件及Frobenius不等式等号成立的充分条件，同时给出算法算例。本文记号为常用记号，如F，‘”表示数域F上mxn矩阵全体，rank(A)二;(A)表示矩阵A的秩，A‘表示A的Moore一Penrose逆，1，表示:阶单位矩阵。1主要结论首先给出Sylvester不等式

5、等号成立的充要条件。定理1设注。尸m‘”，丑。尸”‘正，p，。尸m‘”，Q，，尸2二尸”‘”，QZ。尸“几且尸，，Q，(1=1，2)非异，使plAQ，二Ir01‘，0r、‘z产D口D‘、，..口.一.-卜一.一.，.刀0o0..刀D上0凡BQZ.，令PZQ，.其中D:为几xr，矩阵，D4为(n一几)x(n一r，)矩阵，则，、万产矛、才r(AB)二r(A)+r(B)一n成立的充要条件是D4=0。证明首先B上、月了B式‘、月了‘、、几.‘!1.!”...-...一-...一......0A‘OA召犷、了·(‘’+·(”“r二k(r二k((才、了、才产收稿日期:2005

6、一11一23;改回日期:2006很-24基金项目:南京信息工程大学科研基金资助项目(Y630)作者简介:黄卫红(1980一)，女，江苏通州人，硕士，huangweihongso@nuist.edu.cn.280南京气象学院学才民第30卷rank{”_了·卜。，;(，，)。(1)一ABO/“劝”若;(AB)=r(A)+r(B)一n，则由式(1)得乙︸·(‘，+·‘”’=r二k(A(2)但BIn凡0B入Q0kkfan-fa-n--OA0凡0AoQ、、吐凡BQZPZQI.-百-rank.rank..，0PIAQ;J2Irz0犷00lesl0几es!00由(2)式ran

7、kwe(3)e0s0=r(A)+r(B)=r，+几。eses.01;1rl00、00所以，D4=0。乙In、‘.lB︸lB.r一..-一.一“仁”若D4=0，则由式(3)式得rankl_A+几=r(A)+r(刀)。注意(1)式，ranklA口﹂、0、0n+r(AB)，故r(AB)=r(A)+r(B)一n，证毕。再给出Frobenius不等式等号成立的充分条件。定理2设AoF用K”，B二F”又无，CoF无x‘，p，二Fm火’，Ql二F无拭人，QZ二F‘只‘且p，及Q‘(1=1，2)，0r、=I少r0、D、、.苦、.1...，，..卜.一.-一.-...令PZB+D可

8、逆，使p1