不等式中等号成立条件的解题功能

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1、2009年第48卷第4期数学通报41不等式中等号成立条件的解题功能——兼谈对称思想王文清(山东省滨卅I市教研室256618)大家都知道，基本不等式中的等号，当且仅当~／)≤专(+zz+zs+⋯+z)+诸数都相等时成立。事实上，我们遇到的要证明的绝大多数不等式的条件与结论都是关于所含字(+)一1++1一+1．母的轮换对称式，这就预示着这些字母在解题中所以，、／／可+、／／可+~／_二f可+⋯+的地位是相同的，因此，当它们取值相同时，等号可能成立。于是，可以先猜测并验证要证明的不等~／=≤、／／F．式中等号成立的条件，然后，结合已知条件，通过拆以下两题可

2、供练习添项、配凑等手段构造一系列基本不等式，最后通题1设口，b，c均为正数，且a+b+c一1，过同向不等式的运算给出证明。下面举例说明。求证：而+、F『+一<_．例1已知口，b，C∈R+，n。+b。+C。一24，求题2设a，b，C均为正数，且a+b+c一3，证：＆+6+c≤6．求证：~／了+~／可+~／丽≤3证明当n一6一f一2时，满足a。+b。+C。一例3已知口，n2，⋯，n均为正数，且口1+24，且要证的不等式中的等号成立，于是想到构造+⋯+一1，求证：—L+阜+⋯+以下的三个不等式：口1-Fn2口2-1-3口+2。+2。≥12a，b。+2。+2

3、。≥12b，f。+2。+≥．2。≥12c．将以上三个不等式相加，得n。+b。+C。+6×证明当。一。一．一。一时，满足题设2。≥12(口+6+c)，即日+b+c≤6．条件且要证的不等式中等号成立，此时，—_一a11_口’例2设z>0(i一1，2，3，⋯，)，且zl+．322ax，+。+⋯+一1，求证：~／z+1+~／z+1+，、注意到运用基本不等式时，要尽可能消去分母~／z。+1+⋯+~／z+1≤~／(+1)．中的口+。，且要保证与车a一相等，又注意1．f_a2证明当1一z2一3一·．27一时，满足题到n一az一·一a，为此对此项配凑一项丝．设条件且

4、要证的不等式中等号成立，于是想到构其余类似．造以下不等式：因n，nz，⋯，均为正数，故竿+≥√·√+1≤1(z+1++)一+≥⋯，aZ．十,丁a．-~-a．≥专z+f1+)，(一1，2，3，⋯，)口’1Ia乜_r_al又因++⋯+一1(a在上式中，令i一1，2，3，⋯，，z并相加，得+-az+⋯+口)一1-√吉+1·(~／可+~／可+~／可+⋯+，42数学通报2009年第48卷第4期所以，把以上各同向不等式相加，得次方，故想到给原不等式左边每一项配上网坝，这+⋯+1两项的值当z——一1时等于1，且能通过不+⋯+口===1．等式变换消去原项分母中的(1

5、+)(1+)，或(1+z)(1+2)，或(1+)(1+)．为此对原不等式故+⋯≥左边第一项配凑—l+y+Tl+z，其余类似，并要注例4设“，b，c为正数且满足abc一1，试证：意利用条件xyz=1．n。丽(61+f)十(c1+n)+。C。(n+6)≥号2．一(第36++≥3一3x届IMO试题)(1十v)(1+)。8。8^√644，证明容易猜想n—bC1时，原不等式即≥．等号成立，这时1同理，≥，口。(b+c)b。(c+n)C。(a+6)0’。6x-x-一2＼考虑到“≥”在基本不等式中表现为“和”与(1+v)(1+z)，／8。“积”的变换，故想到给原不

6、等式左边每一项配上将以上三式相加，得项，这一项的值当“一b一一1时等于1一，且能一-一_兰(1十)(1+)。(1+)(1+)’(1+z)(1+)通过不等式变换消去原项分母中的b+c，C+n，a+6，并要注意利用条件abc=1．≥学一导≥_妻_一3=：=3一3一3．例6已知∈(一2，2)，y∈(一3，3)，且因为L_+≥一，一一1，求函数“一+的最小值．同理，+≥，【_+≥÷．解析由于本题条件式中的z，Y具有对称将以上三式相加，并整理，得性，而结论中的z，Y却不具有对称性，这一不协调促使我们想：能否使结论中的95"，Y也具有对称性?为此作以下转化，函数

7、“一≥+一+一—一．一(专)一(詈)。从而原不等式获证．例5设z，Y，2是正实数，且2—1，证明设n一(专)。，6一(詈)，则问题转化为：已知一一(1+)(1+)。(1+lz)(1+)。(1+z)(1+)0

8、4‘(1-b)，然后分别用基本不等式放缩．考虑到“≥”在基本不等式中表现为“和”与因为+36(1一n)≥13