注意等号成立的条件

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1、注意等号成立的条件江苏江阴长泾中学马银萍最值问题往往涉及的知识点多、覆盖面广、综合性强。它是高考考查的一项重要内容，利用不等式中的等号成立求最值是解决最值问题的主要方法。运用这种方法，往往需要对相关对象进行适当的放大、缩小，或不等式之间进行传递、相加、相乘等变形。在此过程中，学生常常因忽视等号成立而导致错误，而且错误不易察觉。下面仅以几例来说明此问题。一、忽视均值不等式中的等号成立致错例1、求函数的最小值错解：由可得y的最小值是评注：在中当且仅当即时等号成立，由sinx的有界性可知，这是不可能的，即均值不等式中的等号不可能成立，故不是y的最小值.正解：记易知对于递减，故，即当时

2、y取最小值3。例2设，求的最大值。即x>0于是，6故。评注：初看起来，在中，当且仅当x=1时等号成立，符合x>0的条件，其实这里推出的x>0，忽视了的有界性，扩大了x的取值范围，因此解法是错误的。本题给我们一个启示：利用均值不等式求最值不仅要注意不等式本身等号成立的条件，还要注意题目中某些隐念的条件，做到周密思考。一、忽视不等式传递之后等号成立致错例3、若正实数x、y满足,求x+y的最小值。评注：这里中，当且仅当即y=4x时等号成立；而中，当且仅当x=y时等号成立，因此传递之后所得到的不等式中的等号不可能成立，故32不是x+y的最小值。6当且仅当即y=2x(此时x=12,y=2

3、4)时等号成立，故x+y的最小值是36一、忽视不等式相加、相乘后等号成立致错例4、已知函数f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，求f(3)的最大值与最小值错解：由题意得①利用不等式的相加性、相乘性可得②∴0≤9a≤27,-7≤-c≤-1即-7≤9a-c≤26，而f(3)=9a-c,∴-7≤f(3)≤26故f(3)的最大值是26，最小值是-7评注：在-7≤f(3)≤26中，当且仅当a=3,c=1时右等号成立;当且仅当a=0,c=7时左等号成立,这两组值均不满足①式,因此-7≤f(3)≤26中的左右等号均不能成立,故26,-7不是f(3)的最大值与最小值

4、,其实由不等式组①变到不等式组②扩大了a、c的取值范围。正解：由f(1)=a–c,f(2)=4a–c,f(3)=9a–c,可设f(3)=mf(1)+nf(2),展开整理后得6在应用题中尤其要注意等号成立的条件，因为变量在实际问题中隐含着取值范围，一个不注意就容易出错。例如：例5、甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使

5、全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？　分析：本题是1997年全国高考理（22）题，关键在于建立目标函数，通过均值不等式求最值。解：（1）依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为　　∴所求函数及其定义域为，（2）依题意知，s，a，b，v均为正数，∴①分析：在（2）中，结论成立的条件是，但速度6能否达到呢？没有注意实际问题中的条件限制，使解答不够完整。应分以下两种情况讨论：①若,则当时，全程运输成本最小。②若,当0＜v≤c时,易证y是v的增函数，因此，当v=c时，全程运输成本最小。事实上，　　∵c－v≥0且，∴，　　∴（当且仅当v=c时，等号成立）。　　综上

6、可知：为使全程运输成本最低，　　当时，当时v=c点评：在本题解答过程中，许多考生只考虑到一种情况，原因在于对均值不等式中等号成立的条件疏忽了，对于形如形式的函数的性质要熟悉，有利我们在求最值时的应用。从以上几例看出，我们6了解了一定的解题工具，而且也会熟练运用，但是在某些细节处理上，站不住脚跟，导致解题错误。数学是具有严密逻辑的一门学科。这需要我们在解题时具有严谨的态度，仔细审题，充分挖掘出题目的内涵，只有这样，才能正确作答。6