数学专业毕业论文 frobenius秩不等式取等号的一个新的充要条件

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1、Frobenius秩不等式取等号的一个新的充要条件颜丽萍（071112404）(孝感学院数学与统计学院，湖北孝感，432100)摘要：1911年，Frobenius给出了三个矩阵乘积秩的一个不等式：本文给出使Frobenius不等式取等号的一个充要条件，获得一些有趣的结果，讨论了它的若干应用．关键词：矩阵的秩；Frobenius不等式；三幂等阵ANewNecessaryandSufficientConditionforEqualityinFrobeniusInequalityYANLi-ping（071112404）(SchoolofMathematicsa

2、ndStatisticalofXiaoganUniversity,XiaoganHubei432100)Abstract:Thewell-knownFrobeniusrankinequalityestablishedbyFrobeniusin1911statesthattherankoftheproductABCofthreematricessatisfiestheinequalityrankAnewnecessaryandsufficientconditionforequalitytoholdispresentedandthensomeinterestin

3、gconsequencesandapplicationsarediscussed.Keyword:rankofmatrix;Frobeniusinequality;tripotentmatrix71引言矩阵秩的不等式及等式问题一直是矩阵理论中令人关注的课题，在最近的一些文献[1-8]中，研究了任意域或除环上矩阵秩的一些恒等式问题，文献[1]利用两个矩阵多项式秩的和的一个恒等式，给出了下列一些秩等式：命题1[1]设，则（1）（2）（3）（4）命题2[1]设，，则（5）在命题1与命题2的基础上，刻画了三幂等矩阵的若干秩特征[1]．文献[2]以矩阵Schur补的秩

4、可加性为基础，得到了任两个矩阵的秩之间联系的恒等式，由此给出了具有重要意义的秩恒等式：命题3[2]设，则（6）由此得到了判定矩阵是三幂等的充要条件的秩恒等式，即刻画三幂等矩阵的秩特征等式：命题4[2,3,4]设，则（7）文献[5]也从另一角度给出了刻画三幂等矩阵的秩的特征：命题5[5]设，则（8）7此外，文献[1,3]中还给出了若干刻画三幂等或幂等矩阵的，主要方法是利用文献[6]的关于矩阵多项式的如下一个恒等式：命题6[4]设，，则（9）其中分别是的最大公因式与最小公倍式．分析这些恒等式可以发现，许多结果都与矩阵秩的Sylvester或Frobenius不等

5、式取等号的条件相关联．关于矩阵秩的Frobenius不等式分别是指命题7[4](Frobenius不等式)若分别是域上的，，矩阵，则（10）特别地，当命题1中矩阵是单位矩阵时，由Frobenius不等式就得到了Sylvester不等式．在文献[7]中，给出了矩阵秩的Frobenius不等式取等号的一个充分条件，在此基础上获得了一类矩阵多项式秩的恒等式，并由此推广了近期一些文献中的相关结论．而文献[8-10]也对Sylvester或Frobenius不等式取等号的充分必要条件条件进行了探讨，而文献[11]中证明了命题8[11]对任意的广义逆和，有（11）（12

6、）由命题2立即得到（10）等号成立的充分必要条件是，对任意选定的和，有（13）正如[12]中作者在文末中评论的：“文献[11]给出了式（10）中等号成立的条件，但用到了广义逆矩阵的概念，比较复杂.能否得出等号成立的较为简洁的条件?这看来也是一个不简单的问题．”本文将给出一个使(10)7等号成立的较为简洁的充分必要条件，利用我们的结果可以把文[1-8]中诸多结论统一起来并进行推广．本文中所有记号与文[1]相同．2　主要结果引理1[13,14]（Roth）设，，，则矩阵方程（14）有解的充分必要条件是矩阵与（15）等价（相抵）.定理1设，，，则（16）的充分必要

7、条件是存在矩阵、使得.证明　由（16）式得到因此式（16）等价于（17）由于（18）（19）其中方阵，，，都是可逆的，由（18）、（19）式得7（20）由（20），得式（17）又等价于（21）根据引理1，式（21）成立的充分必要条件是存在矩阵、，使得.3　应用利用我们的结果，可以直接获文献[1-8]中相关结论.推论1[7]设，则（22）证明　由，故存在使得则有等式两边同乘以，得：由定理1可得由此得（22）式成立，命题得证.推论2[3]设，而分别是的最大公因式和最小公倍式.则（23）证明　设，则存在，使此处.因为，所以有7又，则存在，使，即等式两边同乘以，得由

8、定理1得即得　　　（24）推论2得证.推论3[5]设