数学与应用数学毕业论文-矩阵多项式秩的若干新结果

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1、编号莆田学院毕业论文课题名称：矩阵多项式秩的若干新结果系别数学系学生姓名学号专业数学与应用数学年级2003级指导教师2007年6月莆田学院学士学位论文目录0引言10.1记号与定义10.2研究现状11预备知识32主要结论及其证明53关于猜想1和猜想2的解决94结论的一些应用11参考文献14致谢15莆田学院学士学位论文矩阵多项式秩的若干新结果摘要本文证明了矩阵多项式秩的一个新结果：两个矩阵多项式秩的和等于它们最大公因式矩阵的秩与最小公倍式矩阵秩的和。利用这个结果可以推导出诸多文献的重要结果及其一些新结论。2004年，文献[1]提出矩阵的一次多项式秩的恒等式的两个猜想，作

2、为本文所得结果的应用，可以在更一般的情况下证明这个两个猜想是正确的。【关键词】矩阵多项式互素多项式猜想莆田学院学士学位论文SomeNewResultsofRankofMatrixPolynomialAbstractAnewresultofrankofmatrixpolynomialisprovedinthispaper:Thesumofranksoftwomatrixpolynomialsisequaltothesumofranksofthegreatestcommonfactormatrixandtheminimalcommonmultiplematrix.Wec

3、anprovelotsofimportantresultsandsomenewconclusionsfromthisresult.In2004,thepaper[1]givestwoconjecturesabouttheidentityofrankofsimplepolynomial.Astheapplicationoftheresultsinthispaper,wecanprovethatthetwoconjecturesarerightinmorecommonsituation.【KeyWords】MatrixPolynomial;CoprimePolynomi

4、al;Conjecture莆田学院学士学位论文莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位毕业设计（论文）作者签名：日期：2007年月日莆田学院学士学位论文莆田学院学士学位毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在本人的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外

5、，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。指导教师签名：日期：年月日莆田学院学士学位论文0引言0.1记号与定义本文使用以下记号：表示数域上关于的多项式的全体；表示数域上阶矩阵的全体；表示矩阵的秩；表示矩阵的特征多项式；表示矩阵的最小多项式；表示由的列向量生成的子空间；表示线性空间的维数；表示是的首项系数为1的最大公因式；表示是的首项系数为1的最小公倍式。定义1：若，则称为幂等矩阵。定义2：若，则称为幂矩阵。定义3：若，则称为对合矩阵。定义4：若，则称为幂么矩阵。0.2研究现状矩阵的秩是矩

6、阵理论的一个重要内容，已有不少的文章讨论矩阵秩的问题，现将近几年来一些文章的主要结论列如下：命题1（文献[1]的定理2）设则有命题2（文献[1]的定理3）设则有命题3（文献[2]的定理2）设，对任意的两两互异的数，则命题4（文献[2]的定理3）设，且可逆，可交换，则对任意的两两互异的数，有15莆田学院学士学位论文命题5（文献[3]的定理1）设，则可逆的充分必要条件是。命题6（文献[3]的定理2）设，如果，则可逆。命题7（文献[4]的定理1）设，则可逆的充要条件是。命题8（文献[4]的定理2）设是阶矩阵的矩阵多项式，则可逆的充要条件是。命题9（文献[5]的定理1，文献

7、[6]的定理3）设则可逆的充分必要条件是的特征根均不是的根。命题10（文献[7]的定理1）设，若互素，且，则。命题11（文献[7]的命题4）设，若，…是两两互素的，且，则有命题12（文献[8]的定理1，文献[9]的的定理3）设，且，则命题13（文献[8]的命题4）设，若，……是两两互素的，且，则命题14（文献[9]的推论3、定理4、推论5）设，则命题15（文献[10]的命题2、命题3、命题4）设，则15莆田学院学士学位论文若，且为奇数，，则若，且为偶数，则若，则而且，文献[1]还提出了以下两个猜想：猜想1设，当满足适当条件时，则猜想2设，试问在满足什么条件时，则