改进的GM_1_1_幂模型及其参数优化_王丰效

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1、2011年12月纯粹数学与应用数学Dec.2011第27卷第6期PureandAppliedMathematicsVol.27No.6改进的GM(1,1)幂模型及其参数优化王丰效(喀什师范学院数学系,新疆喀什844000)摘要：为了提高灰色GM(1,1)幂模型的拟合精度,对灰色GM(1,1)幂模型的背景值进行了改进,建立了一类改进GM(1,1)幂模型.利用粒子群优化算法给出了改进GM(1,1)幂模型的参数优化.实例分析结果表明基于粒子群算法的改进的GM(1,1)幂模型具有更高的预测和拟合精度.关键词：灰色G

2、M(1,1)幂模型;背景值;粒子群算法;拟合精度中图分类号：O241文献标识码：A文章编号：1008-5513(2011)06-0711-041引引引言言言灰色GM(1,1)模型是应用最广泛的预测模型之一,为了提高灰色GM(1,1)模型的拟合精度,很多文献提出了许多改进措施[1-5].工程实际中存在着大量S形序列,对这类序列通常采用灰色Verhulst模型建模.灰色GM(1,1)模型和灰色Verhulst模型都是灰色GM(1,1)幂模型的特殊情形,文献[6]基于灰色系统信息覆盖的基本原理,提出了GM(1,1

3、)幂模型的白化方程的求解过程,并讨论了模型几个参数之间的关系,文献[7]利用粒子群算法讨论了GM(1,1)幂模型的参数优化,文献[8]通过优化GM(1,1)幂模型的灰导数给出了该模型的改进,这些文献对于GM(1,1)幂模型的研究和应用有着非常重要的意义.但是,灰色GM(1,1)幂模型的拟合精度不仅仅依赖于模型初值条件和灰导数的选择,而且模型背景值对模型的拟合和预测精度也有很大的影响.本文对灰色GM(1,1)幂模型的背景值进行了改进,建立了一类改进GM(1,1)幂模型.利用粒子群优化算法给出了改进GM(1,1

4、)幂模型的参数优化.最后给出了一个应用实例,实例分析结果表明改进GM(1,1)幂模型具有更高的预测和拟合精度.2改改改进进进GM(1,1)幂幂幂模模模型型型传统的GM(1,1)幂模型的背景值取的是紧邻均值,这样处理缺乏理论依据.基于传统GM(1,1)幂模型的背景值选取的不足,下面讨论改进GM(1,1)幂模型的建模方法和思路.设原始数据序列为:X(0)=(x(0)(1);x(0)(2);¢¢¢;x(0)(n));收稿日期：2011-03-15.基金项目：国家社科基金西部项目(11XTJ001).作者简介：王丰

5、效(1964-),教授,研究方向：灰色系统理论.712纯粹数学与应用数学第27卷其一次累加生成序列为:X(1)=(x(1)(1);x(1)(2);¢¢¢;x(1)(n));其中Xkx(1)(k)=x(0)(i);k=1;2;¢¢¢;n:i=1如果背景值序列为:Z(1)=(z(1)(1);z(1)(2);¢¢¢;z(1)(n));其中z(1)(k)=®x(1)(k¡1)+(1¡®)x(1)(k);这里®是待定参数.则称x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))m(1)为GM(1,1,®)幂模型.当

6、®=0:5时GM(1,1,®)幂模型即为传统的GM(1,1)幂模型.称dx(1)(t)(1)(1)m+ax(t)=b(x(t))(2)dt为GM(1,1,®)幂模型的白化方程.如果确定了参数®，就可以利用最小二乘法估计改进GM(1,1)幂模型中的参数a和b,首先需要确定参数m,这里采用文献[5]的方法先估计参数m,进一步由(3)可得参数a和b的估计值为:(^a;^b)T=(BTB)¡1BTY:(3)其中B和Y的表达式与文献[8]类似.如果取X(1)的第一个分量的修正值x(1)(1)为初始条件,则GM(1,1

7、,®)幂模型的时间响应函数为:µ·¸¶1bb1¡mx^(1)(k)=+(x(1)(1))1¡m¡ea(m¡1)(k¡1):aa由于GM(1,1,®)幂模型参数有4个,如果按照上述方法估计参数就比较麻烦,下面将利用粒子群优化算法优化GM(1,1,®)幂模型的参数.3基基基于于于粒粒粒子子子群群群算算算法法法的的的GM(1,1,®)幂幂幂模模模型型型参参参数数数优优优化化化粒子群优化算法是由JamesKennedy和RussellEberhart在1995年提出的,粒子群优化算法是一种智能进化计算技术,它有许多

8、优点,比如计算简单,收敛速度快,并且需要调整的参数少,已经应用在方程优化,神经网络训练以及模式识别等许多领域.为了利用粒子群优化算法求解GM(1,1,®)幂模型参数,定义平均相对误差函数¯¯1Xn¯x^(1)(k)¡x(1)(k)¯¯¯f(a;b;m;®)=¯¯:n¯x(1)(k)¯k=1第6期王丰效:改进的GM(1,1)幂模型及其参数优化713这样,参数优化问题归结为优化问题minf(a;b;m;®),其中每个