子群交换度对群结构的影响

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1、数学杂志Vo1．35(2015)J．ofMath．(PRC)No．3子群交换度对群结构的影响徐勇，冯爱芬，孙炎冰(河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳471023)摘要：本文研究了子群交换度与有限群结构的关系．利用子群交换度的数量性质，获得了循环群和2阶的广义四元数群的一个新刻画．关键词：有限群；子群交换度；循环群；广义四元数群MR(2010)主题分类号：20P05；20D15中图分类号：O152．1文献标识码：A文章编号：0255—7797(2015)03—0743—041引言本文所考虑的群均为有限群，所有概念和符号均是标准的(可参

2、看文献[1】)．在有限群的性质和结构的研究中，算术结构是一个群的最基本的数学特征之一．因此从群本身固有的数量信息来描述、刻画群的结构一直是群论研究的主流课题，涉及群的各种问题和性质，有着广泛的发展空间和应用背景．近几年，有限群概率方面的应用越来越受关注．在研究中，最重要的一个方面是有限群G的子群交换度与有限群结构之间的密切联系．1979年D．J，Rusin介绍了有限群G的交换度[。】的概念，记d(G)=1I(x，Y)∈G×GIxy=I，并得到如果1>d(G)>，则d(a)∈{(1十)In∈N，n1)．之后，P．Lescot又做了进一步

3、的研究【。，剞，得到一些有趣的结果．最近，M．Tgrn~uceanu于2009年介绍了子群的交换度[】的概念，记sd(G)=l{(日，K)∈(G)。IHK∈(G))I，并讨论其对群结构的影响，得到了一些有意义的结论．本文将继续讨论这一问题．接下来，我们给出几个在文中用到的记号(见文[5])．L(G)表示群G的子群格；丌(G)表示G的阶的素因子；I7r(G)I表示G的阶的素因子的个数．对于群G的任一子群H，群G中所有与日可交换的子群的集合记为(日)，即C(H)：{∈(G)fH=KH}．从而sd(G)=面∑IC(H)I．为计算方便，定义函

4、数f：(G)一{0，1)’HeL(G)，fI1，日K=KH，一H．1=l0VH．K∈LfG1．，HK≠KH，、易知对YH∈(G)，I(日)I=∑f(H，)．于是sd(G)=∑f(H，)．KEL(G)H，KeL(G)2引理收稿日期：2013．09—14接收日期：2014．02—18基金项目：国家自然科学基金(11326056；11171243；11301151)；河南科技大学博士启动基金资助(09001610)；河南科技大学青年科学基金(13000954)．作者简介：徐勇(1981一)，男，河南信阳，讲师，主要研究方向：有限群论．数学杂

5、志引理2．1【]设G是有限群，N是G的一个正规子群，则sd(G)(Ⅳ)l+I(G／Ⅳ)I一1)+(sd(Ⅳ)一1)I(Ⅳ)『。+(sd(G／N)一1)l(G／Ⅳ)引理2．2[。]设G是有限群，lGl=P，若81(G)=1，其中81(G)为群G中P阶子群的个数．则(1)对P>2，G是循环群．(2)对P=2，G是循环群或广义四元数群．引理2．3[。】设G是有限群，IGI=P，1

6、(G／Ⅳ)I一1)+(sd(Ⅳ)-1)l(Ⅳ)I+(sd(a／N)一)IL(G／N)I】的充分必要条件是G是Pn阶群，其中P为素数，礼2为整数且当p>2，G是循环群；当p=2，G是循环群或广义四元数群．证“”设A1={日∈(G)INH)，A2={日∈(G)lHcⅣ)．则易计算f(H，K)=sd(G／N)IL(G／N)I。，H∈∑f(H，)=∑f(H，)一2∑f(H，Ⅳ)+1H，KcA2H，KcA2u{N}HEA2U{N}=sd(N)IL(N)I一21L(N)l+1f(H，)=21A1IIA2I=21L(G／N)I(IL(N)I一1)，

7、-j-是1(，(+，(日．+2，()日，日。[(1(Ⅳ)I+IL(G／Ⅳ)l一)。+(sd(Ⅳ)一)I(Ⅳ)I+(sd(G／Ⅳ)一)I(G／Ⅳ)I]又由题设条件知G)=∑f(H。、H，K∈L(G)【(】(Ⅳ)I+IL(G／Ⅳ)1一)。+(sd(Ⅳ)一)l(Ⅳ)l+(sd(G／Ⅳ)一)IL(G／Ⅳ)1]徐勇等：子群交换度对群结构的影响从而A1uA2=(G)．于是对G的任意子群日，有NH或者H

8、(G)，而P7r(Ⅳ)．令日为G的SylowP一子群，则IHI不整除IⅣI，且IⅣ1不整除1日1．从而NH且HN，矛盾．故假设不成立．因此(1)成立．(2)l丌(G)I=1．假设丌(G)≠1．令lGI=pp呈。⋯p，其中