解析求解光纤中非稳定扰动的实部和虚部X

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1、第16卷　第6期强激光与粒子束Vol.16,No.62004年6月HIGHPOWERLASERANDPARTICLEBEAMSJun.,2004文章编号:100124322(2004)0620726203X解析求解光纤中非稳定扰动的实部和虚部高　松,　陈建国,　林晓东,　陆　丹(四川大学电子信息学院光电系,四川成都610064)　　摘　要:对线性化后的非线性薛定谔方程进行了求解,导出了光纤中传输的扰动场复振幅的实部和虚部的解析解。这些普适的表达式表明:在传输距离不太长的初期阶段,扰动的虚部和实部以及幅角的演化都对输入条件十分敏感;在传输距离趋

2、于无穷大时扰动电场增益系数趋于渐近值;波数在初始阶段随传输距离变化,只有当传输距离足够大时才趋于一个常数。　　关键词:扰动;　非线性薛定谔方程;　实部;　虚部;　光纤　　中图分类号:TN252文献标识码:A　　在克尔效应和负色散效应的共同作用下,与强背景连续波同向传播的扰动光波会经历一个放大过程。以前的研究表明,在扰动频率绝对值低于某个截止频率的情况下,描述扰动放大过程的增益系数是一个大于零的常数。从数学上看,这意味着随着传输距离的增大,扰动的幅度将是发散的,这就是多年来一直受到人们关注[1～7]的调制不稳定性。　　众所周知,光纤中传播的电磁

3、波可以用非线性薛定谔方程来描述。在扰动振幅远小于背景波的情况下,薛定谔方程可以在一阶近似下化为一个描述扰动复振幅演化的线性方程,利用这个方程,可以求得扰动的增益系[8][9～11]数。在求解扰动方程的过程中,人们使用了几种不同的数学形式来表示扰动场的复振幅。仔细考察之后就会发现用这些表达式是很难求出方程的自洽解的。于是,在文献中采取了附加某种限制的方法,最常见的是把波数k(即扰动相位对传输距离的一阶导数)限定为常数(更确切的说是纯虚数),而从后面的分析中可以看出,这种附加的限制等价于把讨论限定在扰动渐近行为上面。虽然这些限定并没有导致什么错误

4、的结论,但破坏了方程需要自洽求解的原则,并且掩盖了扰动变化最剧烈的最初阶段中出现的各种现象,因而对扰动行为的描述是不完整的。　　从数学上来说,描述一个复变量需要两个实数,因而用复数形式写出的扰动方程就应该可以自洽地求出这个复数。从普适性来看,频率为Ω的扰动场复振a就只能在下列两种形式中选择一种a=[u(z)+iv(z)]exp(-iΩT)(1a)a=α(z)exp[iψ(z)]exp(-iΩT)(1b)式中:u,v,α和ψ均为实数,分别称为扰动场的实部与虚部以及模与幅角。在本文中,我们采用(1a)的形式,求得扰动实部与虚部的解析表达式,并以此

5、对扰动的演化行为进行分析。1　求解扰动场的实部和虚部[8]　　在无损光纤中,与强背景连续波同向传播的扰动场a满足的方程为2223i5a/5z=(β/2)5a/5T-γA0(a+a)(2)3式中:常数β和γ分别表征群延迟色散和克尔效应;a为a的复共轭;A0是入射背景场的振幅(为了计算方便可取为正实数);T为以群速度vg移动的参考系。在推导(2)式时,使用了小信号近似,即│a│nA0。把式(1a)代入式(2)后,分离实部和虚部可以得到下面两个方程222du/dz=-γA0sin(2ΩT)u-{βΩ/2+γA0[1-cos(2ΩT)]}v(3a)2

6、22dv/dz={βΩ/2+γA0[1+cos(2ΩT)]}u+γA0sin(2ΩT)v(3b)　　假设在输入端(z=0处)扰动场的复振幅为(u0+iv0),经过运算,可以推导出X收稿日期:2003209228;修订日期:2004203201基金项目:国家自然科学基金委2中国工程物理研究院联合资助课题作者简介:高　松(1977—),男,硕士研究生,主要从事非线性光学研究;E2mail:gs528@sina.com。©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.第6

7、期　　　　　　　　　　　　　高　松等:解析求解光纤中非稳定扰动的实部和虚部727222(2ΩT)]}sh(gz)γA0sin(2ΩT)sh(gz){(βΩ/2)+γA0[1-cosu=ch(gz)+u0+v0(4a)gg22(2ΩT)]22{g-[γA0sin}sh(gz)γA0sin(2ΩT)sh(gz)v=22u0+ch(gz)+v0(4b)g{(βΩ/2)+γA0[1-cos(2ΩT)]}g式中:g就是文献[8]中给出的电场增益系数,它的表达式为221/2g=(

8、βΩ

9、/2)(Ωc-Ω)(5a)21/2而截止频率Ωc=(4γA0/

10、β

11、

12、)(5b)从(5a)和(5b)两式可以看到,我们推导时已经假设了β<0和γ>0,这是因为前人的研究表明,在正克尔介质[1]中经历负色散的扰动场才会引起调制不稳定性。