第三讲——三角形的五心

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1、平面几何专题讲座第三讲三角形的五心一、基础知识1、重心设是的重心，的延长线交边于，则（1）；（2）；（3）.2、外心设是的外心，于交外接圆于和，其中和在的同一侧，则（1）或；（2）分别为弧，弧的中点；（3）．（4）（正弦定理）3、内心设是的内心，于，的延长线交外接圆于，则（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．定理１、（欧拉公式）设的外接圆半径、内切圆半径分别为，其外心，内心分别为、.则.4、垂心设是的垂心，于，则（1）；（2）；（3）；（4）点关于三边的对称点均在的外接圆上；（5）的外接圆是等圆．定理2、（三角形的欧拉线）设分别是△ABC的外心、重心和垂心．则三点共线（欧拉线），

2、且.5、旁心设在内的旁切圆与的延长线切于,则（1）；(2)；（3）；（4）；（5），其中为旁切圆半径．第三讲三角形的五心（第3页共3页）平面几何专题讲座定理3、（圆幂定理）设为定圆⊙所在平面一定点，过作一直线与⊙相交于两点.（1）若在⊙外，则；（2）若在⊙内，则.二、典型问题选讲例1、若分别为中边的中线，为的重心.求证：若，则；反之，也成立.例2、已知⊙切的三边于点，那么是（）（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）以上都有可能例3、设是的内一点，所在直线交的外接圆于，若，求证：是的内心.例4、已知分别是△ABC的外心、重心和垂心，于．求证：（1）；（2）三点共线（欧

3、拉线），且.例5、设的外接圆半径、内切圆半径分别为，其外心，内心分别为、.延长交⊙于，求证：（1）；（2）（欧拉公式）.例6、锐角的外接圆为⊙，于，于.分别为的中点，求证：∥.例7、设是的的平分线，分别是的外接圆的圆心.求证：.例8、在锐角中,为垂心,的外心分别为.求证：三线共点.例9、四边形内接于⊙，对角线与相交于，设，和的外接圆圆心分别为.求证：三线共点.第三讲三角形的五心（第3页共3页）平面几何专题讲座例10、在中，内切圆切于.（1）若，求证：；（2）若，求证：.例11、在不等边中，，和分别是外心和内心.求证：.例12、四边形内接于⊙，，和的内心分别为.求证：是矩形.例13、

4、在中，，，点是外心，两条高交于点，点分别在线段上，且满足，求的值.例14、在内取一点，使与分别是和的内心.求证：三条直线相交于一点.例15、已知依次是的外接圆的弧的中点，交于，交于.求证：例16、四边形内接于⊙，对角线与相交于，设与的外接圆相交于和另一点.求证：.例17、在△ABC中，O为外心，I为内心，AB

5、半径等于边上的旁切圆半径.(注：的边上的旁切圆是与边、的延长线以及边都相切的圆)第三讲三角形的五心（第3页共3页）