第十四章曲线积分与曲面积分

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1、重庆三峡学院《数学分析》电子教案第十四章曲线积分与曲面积分第十四章曲线积分与曲面积分§14.1曲线积分一、第一型曲线积分定义设二元函数在可求长曲线C（A，B）有定义，若当时，二元函数在曲线C（A，B）的积分和存在极限I，即==I，则称I是函数曲线C的第一型曲线积分，表为（1）其中ds弧微元.第一型曲线积分性质：（1），（2）（3）其k是常数.(4)+定理1若曲线C（A，B）x=,y=,at是光滑的，即，在[连续，且不同时为0，函数在C连续，则函数在C（A，B）存在第一型曲线积分，且（2）206重庆三峡学院《

2、数学分析》电子教案第十四章曲线积分与曲面积分证明给区间任意分发T，分点依次是=.第k个区间[对应曲线C上第k个小弧，设其长是.由8.5弧长公式与定积中值定理，有==，其中=，t.在[，]上任取一点，在曲线C上对点是P，作和P==（3）注意上面等式中与都属于[，t]，但是不一定相等.为此将它改写为P=+（4）其中=.（4）式等号右端第一和数是连续函数在区间[的积分和.因此，有206重庆三峡学院《数学分析》电子教案第十四章曲线积分与曲面积分=下面证明事实上，已知函数在闭区域连续，从而它在有界；函数在闭区域连续，

3、从而一致连续，即有.又），有于是，当时，有.即当时，有.由（4）式，当时，存在极限，即函数在曲线C上存在第一型曲线积分，即例1求I=，其中C:x=accos,y=bsin,0.解x=-asint,y=bcost=.206重庆三峡学院《数学分析》电子教案第十四章曲线积分与曲面积分由公式（2），有I==设z=cos2t,dz=-2sin2tdt或sin2tdt=-dzI==.例2求I=，其中C是圆周x+y=ax.解因为C=C+C.C:y=.C:y=-y=.且ds==.由公式（5），有I==+=====2a.若三

4、维空间光滑曲线C的参数方程是206重庆三峡学院《数学分析》电子教案第十四章曲线积分与曲面积分x=x(t),y=y(t),z=z(t),则三维空间第一型曲线积分（6），可化成定积分，有公式=，（7）其中是空间曲线C的弧长积分，即ds===例3求，其中C圆柱螺旋先：x=acost.y=asint,z=bt,解x=-asint,y=acost,z=b.ds====二、第二型曲线积分定义设二元函数在有向光滑曲线C（A，B）有定义>若当时，二元函数在曲线C（A，B）关于x(或y)的积分和存在极限（或），即206重庆三

5、峡学院《数学分析》电子教案第十四章曲线积分与曲面积分=（或=）则称（或）是dx(或dy)在曲线C（A，B）的第二型曲线积分，表为（或.定理2如果函数在有向光滑曲线C（A，B）：x=x(t),y=y(t),连续，且A[x(),y()],B[x(),y()],则dx与dy在C（A，B）的C（A，B）第二型曲线积分都存在，且=（12）=（13）例4求，其中曲线C是上半椭圆x=acost,y=bsint,取顺时针的方向.解dx=asintdt,dy=bcostdt,由公式（12）和（13）有===.例5求I=，其中

6、曲线C分别是1）直线y=x；2)抛物线y=x；3)立方抛物线y=x；多是由原点（0，0）到点（1，1）.解1）沿直线y=x,dx=dy,有206重庆三峡学院《数学分析》电子教案第十四章曲线积分与曲面积分I==+==1.2)沿抛物线y=x，dy=2xdx,有I==+==13）沿立方抛物线y=x，dy=,有I==+==1例6求=，其中曲线C与例5相同始点与重点>解1）沿直线y=x,dx=dy,有===.2)沿抛物线y=x，dy=2xdx,有===3)沿立方抛物线y=x，dy=,有===-.例7有质量为m的质点，

7、在重力的作用下，沿铅垂面上曲线C由点A到点B，求重力F所作功.解设平面曲线C的参数方程是x=x(t),y=y(t),,A[x(),y()],B[x(),y()].已知F=（0，mg）.于是，重力所作的功W====206重庆三峡学院《数学分析》电子教案第十四章曲线积分与曲面积分例8求，其中曲线C：x=cost,y=sint,z=t,.解由公式（17）有==-=-三、第一型曲线积分和第二型曲线积分的关系在xy平面上第一型曲线积分和第二型曲线积分的转换公式是：=或=.四、格林公式定理3若函数P（x,y）与Q(x,

8、y)以及与光滑或逐段光滑闭曲线C围成的闭区域G连续，则=，（21）公式（21）称为格林公式.例9求，其中C是圆周x+y=a.解由格林公式，P=-xy,Q=xy,=-x,=y,有=，其中G圆x+ya.设x=rcos,y=sin,有206重庆三峡学院《数学分析》电子教案第十四章曲线积分与曲面积分===例10．求，其中C是光滑的不通过原点的正向闭曲线.解分两种情况计算.1)闭曲线C内部不包含原点.由格林公式，函数P（x