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1、【一般均衡问题求解】1.有两个当事人，其间接效用函数为：111vppy(,,)=−−lnyααlnp(1−)lnp1212222vppy(,,)ln=−−yββlnp(1)ln−p121212初始禀赋为：ω=(1,1)ω=(1,1)以上式子中，下标表示商品，上标表示参与人。请计算市场出清价格。解：由Roy恒等式：如果x(p,)m是马歇尔需求函数，则对于p>0，m>0，ik=1,2,...,，有：i∂vm(p,)∂pixm(p,)=−，ik=1,2,...,i∂vm(p,)∂m111对于参与人1的间接效用函
2、数vppy(,,)=−−lnyααlnp(1−)lnp的需求函数1212为：α−111p1αyxy(p,)=−=……①11p11y1−α−111p2(1−α)yxy(p,)=−=……②21p21y222同理，对于参与人2的间接效用函数vppy(,,)ln=−−yββlnp(1)ln−p的需求1212函数为：β−222p1βyxy(p,)=−=……③11p12y11−β−222p2(1−β)yxy(p,)=−=……④21p22y12∵初始禀赋为：ω=(1,1)ω=(1,1)12∴要素收入为：yypp==+…
3、…⑤121122∴根据需求总和=要素禀赋总和，有xyxy(p,)+(p,)112=+=……⑥11α()pp+β()pp+1212将①、③、⑤式代入⑥式，得到：+=2，pp11变形，可得(2−−αβα)p=+(β)p；121122同理，有xyxy(p,)+=(p,)112+=……⑦22将②、④、⑤式代入⑦式，得到：(2−α−=+βα)p(β)p12α+β∴市场的均衡价格为：p=⋅p122−−αβα+β若令p=1，则可得一组市场出清价格：(,)(pp=,1)⋅2122−−αβ2.一个二人经济中有两种商品。个体
4、1开始由2单位的x商品和2单位的y商品；个体2开始只有2单位的x商品。两人的效用函数分别是：uxyx(,)=+lny，uxy(,)ln=x+lny，12试求这个纯交换经济的瓦尔拉斯均衡价格和配置。解：将商品y的价格设为1，设商品x的价格为p。则这两个人的效应最大化问题可描述为：max(xy+ln)..stpxyp+=+221111max(lnx+lnystpxy)..+=2p2211建立拉格朗日函数：Lxy=++lnλ(pxyp+−−22)111111Lxyp=+++−lnlnλ(xyp2)2222222
5、求解F.O.C：∂L∂L1∂L111=+10λp=,=+=λ0,=px+−−y22p1111∂x∂yy∂λ1111∂L1∂L1∂L222=+=λp0,=+=λ0,=px+−=y20p2222∂xx∂yy∂λ22222再加上市场出清条件：xx+=4，yy+=21212解得瓦尔拉斯均衡配置是：(,)(pp=1,1)；(,)(3,1)xy=；(,)(1,1)xy=xy11223.考虑一个经济，有n个相同的人；两种生产要素，e和e；两种商品，1和2，且生产12满足规模报酬不变。商品1的生产需要同时投入e和e，采用
6、一个固定比例的生产技术，1211生产函数为xm=in(,)ee，成本函数为cw=ee+；而商品2仅用e进行生产，生产112111222iii函数为x=e，成本函数为ce=。每个人的初始禀赋为eee==(,)(10,15)，222212in=1,2,...,；每个人的效用均为uxx(,)=αlnx+−(1)lnαx，01<α<。记商品1的1212价格为p，商品2的价格为p；要素e的价格为w；要素e的价格单位化为1。12112（1）如果要素禀赋全部用尽，求本经济中的竞争性均衡价格及数量；（2）如果要素禀赋有剩
7、余，求本经济中的竞争性均衡价格及数量。【Hint】此一般均衡价格体系中，均衡价格包括商品价格与要素价格；均衡数量包括商品的总产出量和总消费量，以及各要素的使用数量。解：（1）每一个消费者i所面临的效用最大化问题为：maxαlnx+−(1α)lnxst..px+px=+10w151211221构造拉格朗日函数L=+ααlnxx(1−++)lnλ(10w15−−pxpx)1211122∂Lα求解F.O.C.：=−=λp0，1∂xx11∂−L(1α)=−=λp0，2∂xx223∂L=10wp+−−15xpx=0
8、，11122∂λ10w+1510w+1511求得x=⋅α，x=⋅−(1α)。12pp12∴该经济中的总需求为10w+151x==nx⋅nα，……①11p110w+151x(==nx⋅−n1α)……②22p2又∵该经济是竞争性市场，∴在均衡处，各厂商的利润均为0，即：11生产商品1的厂商的利润：pnxwee⋅−−=0……③111122生产商品2的厂商的利润：pnxe⋅−=0……④222以下分两种情况讨论：1①若所有的生产资料都被
