2、,cosx)则11225+4cosx图3C[-,]D[-,]22233Y表示两点P(-4cosx,cosx),常规解法令5+4cosx=t(1t3),则A(5,1)连线的斜率,而点P的轨迹为抛物线y=222216-(t-5)xsinx=,当0x时,sinx=(0y1)的一段,如图3,当直线AP平行于x16162242轴时,Y取最小值;当直线AP与抛物线相切时,Y取16-(t-5)-t+10t-9=,f(x)=1641111最大值,所以0Y,即-f(x).所442242sinx-t+10t-9=4t=115+4cosx以函数f(
3、x)的值域为[-,].222929-(t+2)+10-2t2+10tt1=,442介绍几道2008年自主招生数学试题湖北省十堰市东风高级中学442001甘志国高校自主招生考试数学试题材料鲜活,试题的结构常以作为特殊角的三角函数值列出此值为黄金分割数5~7道解答题的形式出现(如2008年清华大学、北京大学、5-10.618的一半,挺好记的;高一数学老师应当介绍浙江大学的自主招生试题),也有与本省高考数学试卷的形2式类似的(如2008年山东大学自主招生试题),试题的难度sin18的值及其算法,并不难):3一般略高于高考题.下面介绍几道200
4、8年自主招生数学试由公式sin2=2sincos,cos3=4cos-3cos及3题,且这里给出的解答多与原参考答案不同.sin36=cos54,立得2sin18cos18=4cos18-3cos18,22题1(2008年北京大学自主招生数学试题)求证:边2sin18=4cos18-3=4(1-sin18)-3,24sin18+2sin18-1=0,1+5长为1的正五边形对角线长为.25-1sin18=原参考解答是用平面几何中的三角形相似证得的,下面4给出一种三角解法.11+5所以所求正五边形对角线长为x==.2sin18
5、2解选择正五边形的两条共顶点的对角线及其一边组题2(2008年复旦大学自主招生数学试题)请证明2成等腰三角形,再作其底边上的高,又设这个正五边形对角0.51是一个无理数.线长为x,得sin18=,x=.x2sin18m证明假设2是有理数,则可设2=(m,n是两个互n5-1下面求sin18(实际上,有很多资料把sin18=2224质的正整数),得m=2n,所以m是偶数,进而得m也是偶54中学数学杂志2009年第1期ZHONGXUESHUXUEZAZHI222数(因为当m是奇数时,m是奇数),又可得m(=2n)是45
6、sin(0),得的倍数,n2是偶数,n也是偶数,得m,n均是偶数,这与m,n互22质矛盾!说明2是无理数.z=t+5-4t2=5sin+5cos,2以上证明初二学生即可弄懂,反证法教科书上虽然作了5125介绍,但平时训练的极少,所以学生对这种证法很陌生(而=2(sin+cos)=2sin(+)(02),552008年高考数学江苏卷第19题第(2)问就是需要用反证法1其中=arccos.证明的题目),我们在平时的教学中应当重视这方面的训练.52还是人类历史上发现的第一个无理数,是1由此也可得:当且仅当+=即=arcsin也即2
7、5Pythagoras(约公元前500年,希腊学者)学派的成员1315Hippasus所发现的,从而产生了数学史上的第一次危机,所t=就是x=或-时,zmax=.2222以学生还应当尽可能的通过课外阅读等手段扩大知识面.5题3(2008年浙江大学自主招生数学试题),A={(x,所以所求a的取值范围是[,+).2y)
8、(x-1)2+(y-2)25},B={(x,y)
9、
10、x-1
11、+2
12、题4(2008年浙江大学自主招生数学试题)已知x>4220,y>0,a=x+y,b=x+xy+y,c=mxy,问是否存y-2
13、a},AB,求a的取值范围.2在正数m使得对于
14、任意正数x,y,可使a、
