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1、2015北大自主招生数学试题一.选择题1.整数x,y,z满足xy+yz+zx=1，则(1+)(1+)(1+)可能取到的值为（ ）A．16900B．17900C．18900D．前三个答案都不对2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（ ）A．3524B．3624C．3724D．前三个答案都不对3.已知x∈[0,]，对任意实数a，函数y=−2acosx+1的最小值记为g(a)，则当a取遍所有实数时，g(a)的最大值为（
2、 ）A．1B．2C．3D．前三个答案都不对4.已知−是的整数倍，则正整数n的最大值为（ ）A．21B．22C．23D．前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD中，BC=4，∠ADC=60∘，∠BAD=90∘，四边形ABCD的面积等于，则CD的长（精确到小数点后1位）为（ ）A．6.9B．7.1C．7.3D．前三个答案都不对二.填空题6.满足等式的整数x的个数是_______．7.已知a,b,c,d∈[2,4]，则的最大值与最小值的和为___________8.对于任意实数x∈[1,5],
3、+px+q
4、≤2
5、,不超过的最大整数是__________9.设x=,y=,z=,且x+y+z=1，则的值为___10.设都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知
6、
7、为奇数，1≤i≤n,
8、
9、为偶数，1≤i≠j≤n，则n的最大值为____________三．解答题11.已知数列{}为正项等比数列，且=5,求的最小值12.已知f(x)为二次函数，且a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))成正项等比数列，求证：f(a)=a13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC的三边满足a>b>c，求证：
10、这个三角形内接正方形边长的最小值为14.从O出发的两条射线，已知直线交于A、B两点，且=c(c为定值),记AB的中点为X，求证：X的轨迹为双曲线15.已知(i=1,2,3,…,10)满足：=30，<21，求证：，使得<1##Answer##第5页共5页2015北大自主招生数学试题1．1+=xy+yz+zx+=(x+y)(x+z)，同理1+=(y+z)(y+x),1+=(z+x)(z+y)(1+)(1+)(1+)=，对照前三个答案，只有A是一个完全平方数检验，不妨取x+y=2,y+z=5,z+x=13,有解x=5,y=
11、−3,z=8.选A2.考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+
12、48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725。故选D．3.令t=cosx，令h(t)=−2at+1,t∈[0,1],g(a)=作图象知最大值为1，选A4.−=(-1)=(+1)(-1)=(+1)(+1)(5-1)(+5+1),+5+1是奇数，5-1=4是，+1=+1被4除余数为2，同理+1被4除余数也是2，于是n的最大值为24，选D5.设四边形ABCD的面积为S，直线
13、AC,BD的夹角为θ，则S=AC⋅BD⋅sinθ（AB⋅CD+BC⋅AD）sinθ≤（AB⋅CD+BC⋅AD）,由已知两个等号成立，于是于是AC⊥BD，BC⊥CD。用坐标法解得CD=4≈6.9。选A．6.x>0时，=>,无解x<0时,x为负整数，设x=-n,====是n的单调函数n-1=2015x=-2016。填17.设=(a,d),=(b,c)，二者夹角为θ，则所求为=，如图第5页共5页2015北大自主招生数学试题0≤θ≤∠AOB1≥cosθ≥cos∠AOB==≤≤1。填8.设y=f(x)=+px+q,x∈[1,5
14、]，它可以由y=,x∈[-2,2]平移得到，y=最值之差为4，根据
15、+px+q
16、≤2，只能平移到顶点在(3,-2)处，有；同理也满足条件，=，不超过它的最大整数为9.填99.x+y+z=1(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)=0不妨设a≤b≤c，则c=a+b，于是x==1，同理y=1,z=-1，于是=1，填110.每个元素当做一个子集，就
