2012北大自主招生数学试题

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1、2012北大自主招生数学试题(理科)1.求的取值范围,使得是增函数.2.求的实数根的个数.3.已知的个根组成首项为的等差数列,求.4.已知锐角的外接圆的圆心为,求到三角形三边的距离之比.5.已知点,若点是圆上的动点,求面积的最小值.6.在中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数？7.设点A、B、C分别在边长为1的正三角形的三边上,求的最小值.8.若关于x的方程在有唯一解的,求实数a的范围.9.求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.10.求证:对于任意的正整数,必可以表示成的形式,其中.2012年清华等五校自主招生试

2、题−−通用基础测试数学一、选择题1.若为内部任一点(不包括边界),且,则必为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形2.圆锥的轴截面是边长为的等边三角形,为底面中心,为的中点,动点在圆锥底面内(包括圆周).若,则点形成的轨迹的长度为()A.B.C.D.3.某种型号的计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数时按下这个按键,会等可能的将其替换为中的任意一个数.如果初始时显示,反复按这个按键使得最终显示,那么这个过程中,都出现的概率是()A.B.C.D.4.已知,直线与的交点在直线上,则()A.B.C.D.5.若正整数集合A

3、k的最小元素为1,最元素为2007,并且各元素可以从小到大排成一个公差为k的等差数列,则并集中的元素个数为A.119B.120C.151D.1546.三角式化简为A.B.C.D.7．设k<3,k≠0，则二次曲线与必有(A)不同的顶点；(B)不同的准线；(C)相同的焦点；(D)相同的离心率．8.若P为椭圆l在第一象限上的动点，过点P引圆x2＋y2=9的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则S的最小值为()(A);(B)；(C);(D)9.设x1、x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根，若x1是虚数，是

4、实数,则的值为A.0B.−1003C.1004D.−100410.函数f:RR，对任意的实数x、y，只要x+y≠0，就有f(xy)=成立,则函数f(x)(x∈R)的奇偶性为(A)一定是奇函数；(B)一定是偶函数;(C)既是奇函数，又是偶函数；(D)既不是奇函数，又不是偶函数．二、解答题11.系统内有2k−1(k∈N+)个元件，每个元件正常工作的概率为p(0

5、ABC中，BEAC于点E,CDAB于点D，且BC=25，CE＝7,BD=15，若BE、CD交于点H，联结DE，以DE为直径作圆，该圆与AC交于另一点F，求AF的长度．14.已知有n(n≥2)位乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，试求n的所有可能值·15．已知动点P在y轴上投影为H,A(−2,0),B(2,O)，满足.(1)求点P的轨迹方程C;(2)已知一条直线过点B，且与曲线C交于x轴下方两点C、D，M为CD中点，求M与点Q(0，−2)连线的斜率取值范围．2012年名牌大学自主招生考试试题

6、(3)适用高校：北京理工大学、同济大学等十三校一、选择题1．正四面体的4个而上分别写若l,2,3,4,将4个这样的均匀正四面体投掷于桌而上，与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是()(A)(B)(C)(D)2．设a>0,b＞0，c＞0，且a+b+c=1，则的最大值为()(A)(B)(C)(D)3．已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线左支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率的取值范围为()(A)(l，+∞);(B)(0,3]；(C)(1,2]；(D)(1,3]4．如果关于x的方程2x2+3ax+a2−a＝0至少有

7、一个根等于l的根，那么实数a的值()(A)不存在；(B)有一个；(C)有三个；(D)有四个．5.5个顶点不共面的五边形叫空间五边形,空间五边形的5条边所在直线中,互相垂直的直线对至多有()(A)5对;(B)6对;(C)7对;(D)8对.6．已知定义在实数集R上的函数f(x),其值域也是R,井且时任意x、y∈R．都有f[xf(y)]=xy,则

8、f(2007)等于()(A)0;(B)1;(C)20072;(D)20077．若k是正位数,且能被2k整除,则k的最大值为()(A)2004;(B)2005;(C)2006;(D)2008.8.已知非零向量与满

9、足,且则为()(A)三边均为不相等的三角形;(B)直角三角形;(C)等腰非等边三角形;(D)等边三角形.9.关于x、y、z