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《边长为整数的正方形剖分成整边直角三角形最少个数问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、一道!"#预选题的推广边长为整数的正方形剖分成整边直角三角形最少个数问题张県（甘肃省金昌市第一中学，$%$&’’）吴质仲（广西河池地区巴马民族师范学校，/+$/’’）题目：已知：!、"、##!(，且!"#)&*%%文［&］指出：（边长为整数的）正方形剖分!"求证：(（&("）（&(#）（&(#）（&(!）成整边直角三角形最少个数/能否再小，人#%%们尚不得知*其实，正方形剖分成整边直角三(*（&(!）（&("）$+角形最少个数只能是/，不能再有更少个数（第%,届!"#预选题）的剖分*本文给出其两个推广*首先，整数边长的正方形
2、不能剖分成个推广"设!，!，⋯，!(，且&-$#!数为-和%的整边直角三角形，这是很容易!&!-⋯!$)&*则验证的*$其次，整数边长的正方形不能剖分成个!&（&(!-）（&(!%）⋯（&(!$）数为+的整边直角三角形*证明如下：!$假设整数边长的正方形能够剖分成+个-((⋯（&(!）（&(!）⋯（&(!）&%$整边直角三角形，则有三种基本的剖分方法*$!第一种，如图&*$(（&(!）（&(!）⋯（&(!）&-$.&设&’)(，)是正方$形*+’&上异于+、’$$.&*-的一点，,是*+上异证明：略*于*、+的一点，推广#设
3、!，!，⋯，!(，且!&-$#&&),是直角*则三图&!&!-⋯!$)%*则角形&’)与三角形$(.-!&)+,相似，+))(.-，+,)·-，&))(（%(!）（%(!）⋯（%(!）-%$$%(-(--，),)(.-·%(-(--*其中(、-、!-(((⋯（%(!）（%(!）⋯（%(!）&%$&)、),、&,的边长都是正整数*于是，&,$!$(%(-(--（%(!）（%(!）⋯（%(!）--&-$.&)·%((（(.-）*这就是说，必($$$〔%%（$(&）.%（$.&）〕*---$须存在两个整(、-，使得%((-与--都
4、是整，剖分才是成立的*证明：略*%((（(.-）第二种，如图!，设!是正方形"#$%边"#上异于"、#的一点，图中任一线段的长都是整数，"%""#"&，"!"’$则#图!!!!%"!&%’，##!!!$"&%（&&’）$!###!!这又得到’个整数&、’、!&%’、####!!&%（&&’）$!###第三种，如图(，设!是正方形"#$%的一边$%上异于$、%的一点，!("$%，!(交"#于(，$%"!("&)，$!"’)，&)图(、’)、$(、(%的长!!都是整数$则$("!&)%’)，(%"!!!&)%（&)&’)）$于是
5、又得到整数&)、’)、!!!!!&)%’)、!&)%（&)&’)）$以上说明，如果存在两个正整数)、*，!!!!使得!)%*、!)%（)&*）（)**）是整数，那么正方形能够按图#和图(的方法剖分成’个整边直角三角形，也可能按图!的方法剖分$而图(这样的剖分如果成立，则能够找到正整数)、*$我们要证明不能找到能!!!!使!)%*、!)%（)&*）是整数的)、*，只须证明图(这样的图形不存在就行了$在图(中，$%(的边长是整数，$%边上的高!(等于$%$这样的三角形就不存在，详见［!］$这样，我们就证明了“整数边长的正方形不能
6、剖分成’个整边直角三角形，也就证明了“整数边长的正方形剖分成整边直角三角形的最少个只能是+$”参考文献#吴振奎$三角形、正形的某些剖分问题$中等第二种，如图!，学，!,,（,#）设!是正方形"#$%!斯坦因豪斯著，庄亚栋译$又一百个数学问题$北边"#上异于"、#的京：科普出版社，#-.!一点，图中任一线段的长都是整数，"%"孪生质数猜想的一个证明"#"&，"!"’$则#图!!!，王晓明!%"!&%’##（四川省乐山市四川石油局峨眉疗养院，/#’,,,）!!!$"!&%（&&’）$###这又得到’个整数&、’、!&!%’!、可
7、以利用文［#］中孪生质数公式!、"给####孪生质数猜想一个严格的证明$!!!&%（&&’）$###证明：设孪生质数有穷，最大一对记为第三种，如图(，+与+，按式!有,&#,设!是正方形"#$%-"+.%’"+.%’"⋯###!!!的一边$%上异于$、"+,.,%’,$（#）%的一点，!("$%，其中’/#,，+/&!$!(交"#于(，$%"若-0+!&!，则-与-%!是一对,%#!("&)，$!"’)，图(孪生质数$&)、’)、$(、(%的长注意：-*+，且与+，+，⋯，+互质$,#!,都是整数$则$("&)!!，(%"!
8、%’)由于我们已假设最大一对孪生质数为+,&#!!!!&)%（&)&’)）$于是又得到整数&)、’)、与+，所以，式（#）-在+&!内无解$否,,%#!!、&)!!则-与-%!是一对大于+与+的孪生!&)%’)!%（&)&’)）$,&#,以上说明，如果存在两个正整数)、*，质数对$现在我们
