从数学问题2201的解答中引发的探究

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1、54数学通报2015年第54卷第6期从数学问题2201的解答中引发的探究张青山(四川I职业技术学院应用数学与经济系629000)在数学通报数学问题2201的解答过程(见文等价于[1])中，条件为z，Y，>O，z++z一1，需要证明1J2(1-a)≥(1一÷)·27·＆一·(1—2a)，的不等式为二≤吉，等价于不那么必应成立lim2(1-a)．等式(1-x)(1-y)(1一z)≥8xyz．1本来这个不等式有一个很简便的证明，即≥lira[(1一÷)·27·。·(1—2a)]．n一0．．)(1一)(1

2、一)(1一z)即需成立2≥(1一)。·27·n2^一(y+z)(z+z)(z+)≥(2~／)(2~／)(2~／)一8xyz，由于当<寺时，1im口孙～一+。。，厶c,l—-0但原题证明思路却是先证明了不等式(1～)(1一)(1—2)≥要(xyz)号，再结合不等式2≥(1一刍)。·27·l—ira。n肯定不成立，(xyz){≤学一÷来证明了不等式(1一z)·因此≥丢．当≥丢时，(1一y)(1一z)≥8xyz．虽然证明过程有点繁，但由于()÷≤学一号，运用(27xyz)o≥(27xyz)(Ao≤)，将

3、所要证不那么(27xyz)7"≥(27xyz)．等式(1一)(1一)(1～z)≥(27)转为证故我们只需证得明(1-X)(1-y)(1～)≥(27z)h的思路引(1-x)(1一)(1～z)≥(27z)专即可．发了我们的思考，进而就很自然提出下面问题．不妨设z≤．y≤z，记￡===,／7y-，一x+y，问题1，Y，都是正实数，且++z===1，求使不等式显然￡≤，易知s≤÷．由于～】(1-x)(1-)(1一z)≥(27)恒成立的实数的最小值．二一型x+y我们作如下分析，对任意满足条件的，，，一一2(

4、]-x)(1一)(1-Z)≥(27Lzz)叵成立，=c～±一Tx+y那么对—n，一口．===l一2a(0<口<寺)时，(1-．Z")(1一．y)(1—2)≥(27)依然成立．[一1~(s-t)[军一1就有一(1—2一z)，(1一日)[1一(1—2a)]≥(1～÷)[27a(1～2a)]，易知当o

5、显然不．成立的，故≥．我们只需证明不等式(1+z)(1十1十了1+)(1一z)(1一y)(1一)≥(1一)(27xyz)专2z2z即可．√一845由于(1～32)(1一y)(1一z)===、—一丁‘[(1一z)(1一)(1一z)][(∑32)(∑y1)(∑z)]，Ip,N．(1-X)(1-y)(1-Z)≥z，z1．从问题1的探究知道由此得到下面结论．(1一z)(1一)(1一z)≥(27xyz)告，结论1z，Y，z都是正实数，且z++z一1，如果能证得(∑z)(∑y)(∑Zi)≥(∑1)，≥丢，1-

6、X)(1-y)(1-Z)~8(27xyz)．我们的探究就有收获．但令人沮丧的是，我们运用问题1得到解决后，我们拟从升幂的方向扩电脑编程进行试算，发现当m一2时，不等式(14-大成果，就提出了下面问题．问题2z，，z都是正实数，且z++一1，z)(14-)(14-)≥(1+)不成立，当m一3∈N+，求使不等式时，不等式(1++)(1++。)(1+z4-z。)≥(1一z)(1一Y)(1一)11(1+÷+毒)也不成立．非常失望之时，顺便改≥(1一1)(27xyz)改程序试算一4的情形，让我们惊喜的是，不

7、等恒成立的实数的最小值．式(14-+z+z)(1+y+y+y。)(1+z+2我们作如下分析，对任意满足条件的z，，z，+za)≥(1+一1。居然是成立的(1一z)(1一y)(1一z)．继续≥(1一)(27xyz)匣成立，试算m一5，6，7，8，9，不等式(∑z)(∑)(∑Zi)≥(∑1)都是成立那么对．yc．~--a，y=a，一1—2n(o

8、+一1，就有(1一n)E1一(1—2a)]m∈N且≥4，贝0≥(1一1)E27a(1-2a)]，(∑f)(∑!)(∑Zi)≥(∑去)”．那么(1一n)。证明设函数≥(1一)。·1一≥(卜未)·27F．’(卜1—2n)，^(z)一ln一z一[1n车+则也必应成立lira(1-a)。卜寺lim~(1一)。．27(3F．(1—2]，～⋯)(x-号)](0