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《Timoshenko薄壁梁双向弯曲与扭转耦合的振动方程及求解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第27卷第1期佛山科学技术学院学报(自然科学版)Vol.27No.12009年1月JournalofFoshanUniversity(NaturalScienceEdition)Jan.2009文章编号:1008-0171(2009)01-0054-05Timoshenko薄壁梁双向弯曲与扭转耦合的振动方程及求解123黄君毅,王勇,罗旗帜(1.广州市鲁班建筑防水补强公司,广东广州510665;2.华南理工大学交通与土木学院,广东广州510641;3.佛山科学技术学院土木工程与建筑系,广东佛山528000)摘要:基于薄壁杆件理论,研究了Timoshenko薄壁梁双向弯曲与扭转耦合的
2、振动问题。根据Timoshenko梁的受力特性,考虑了剪切效应影响,给出了薄壁梁质点的位移系数和空间位移场。根据能量泛函变分原理导出了Timoshenko薄壁梁的振动微分方程。运用降阶法和频率扫描法求得微分方程的解析解。算例计算表明,此解析解与有限元法的结果吻合较好。关键词:Timoshenko薄壁梁;弯扭耦合;振动微分方程;解析解中图分类号:O326文献标识码:A薄壁梁具有明显的空间结构特征,对于截面非对称结构或在非对称荷载作用下,存在着弯扭耦合作用,其受力分析比较复杂。近几十年来,国内外许多学者开展了薄壁梁动力问题的研究。早期的薄壁杆件振动理论大多数假定其弯曲振动和扭转振动互
3、不耦合。文献[1-4]在基本横向振动理论的基础上,建立了仅考虑一个方向弯扭耦合的振动方程。文献[5]建立了考虑剪切变形薄壁杆件弯扭耦合的振动方程,但未获得解析解。因此,目前对薄壁梁双向弯曲与扭转耦合的振动问题研究较少。本文考虑了剪切变形的影响,根据能量泛函变分原理,推导出Timoshenko薄壁梁双向弯曲与扭转耦合的振动微分方程,并运用降阶法和频率扫描法获得精确解。1振动微分方程的建立1.1基本假定薄壁杆件理论Vlasov基本假设,忽略了横截面的弯曲剪切变形的影响。在考虑横截面的弯曲剪切变形情况下,Vlasov的基本假设必须给予修正。下面给出考虑弯曲剪切变形影响的Timoshen
4、ko薄壁杆件理论的基本假设。(1)杆件受力而变形的过程中,其横截面的周边形状投影始终保持不变。图1薄壁杆件位移模式收稿日期:2008-11-03基金项目:国家自然科学基金资助项目(50378019);广东省自然科学基金资助(034066)作者简介:黄君毅(1980-),男,广东佛山人,广州市鲁班建筑防水补强公司硕士。王勇(1956-),男,湖南衡阳人,华南理工大学副教授,硕士生导师。罗旗帜(1955-),男,浙江温州人,佛山科学技术学院教授,博士,硕士生导师。第1期黄君毅等:Timoshenko薄壁梁双向弯曲与扭转耦合的振动方程及求解55(2)杆件除受有圣维南扭转剪切变形外,还考
5、虑弯曲剪切变形。(3)杆件截面任意一点的弯曲剪切变形相等。1.2振动微分方程如图1所示,截面上任意一点的位移函数表达式为b′b′U(x,y,z)=u(x)-yv(x)-zw(x)+θ′(x)k(y,z),sbV(x,y,z)=v(x)+v(x)-zθ(x),(1)sbW(x,y,z)=w(x)+w(x)+yθ(x)。基于剪切中心的弹性应变能表达式为112b″2b″2s″2U=(EAu′+EIyyvs+EIzzws+EIwθ)dx+2∫0111s′2s′21′2(GAyv+GAzw)dx+GIkθdx,(2)2∫02∫0式(2)中,Ay、Az分别为y、z轴方向的等效剪切面积。外力所
6、做的功为1sbsbb′b′W=∫[qxu+qy(v+vs)+qz(w+ws)-mxθ-myws+mzvs]dx,(3)0可求得动能表达式为112b′2b′2s′2sb2sb2T=d[(Au+Iyyvs+Izzws+Iwθ)]+A[(v+vs)+(w+ws)]+2∫0sbsb2222Azs(v+vs)θ-2Ays(w+ws)θ+(Iyy+Izz+Azs+Ays)θ]dx。(4)[7]运用能量变分原理,求出薄壁杆件U、W、T的一阶变分式并令其上、下限积分值为0,由虚功方程WU-WW-WT=0,(5)得到薄壁杆件自由振动微分方程组为EAu″-dAu=0,dEAI22yydAIyydAI
7、yyEIyyv″s″-(dIyy+)v″s+vs+dAvs+zsθ-GAyGAyGAydEAIyyzsθ″+dAzsθ=0,GAydEAI22(6)zzdAIzzdAIzzEIzzw″s″-(dIzz+)ws″+ws+dAws-ysθ+GAzGAzGAzdEAIzzysθ″-dAysθ=0,GAzss22EIwθ″″-dIwθ″-GIkθ″+d(Iyy+Izz+Ays+Azs)θ+dAzsvs-dAysws=0。式(6)中,E为弹性模量,G为剪切模量,A、Ay、Az为截面面积和y
