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《谈n阶矩阵的m次方幂的通项公式_谢小忠》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第17卷第3期塔里木大学学报Vol.17No.32005年9月JournalofTarimUniversitySep.2005①文章编号:1009-0568(2005)03-0089-03谈n阶矩阵的m次方幂的通项公式谢小忠杜小琴(塔里木大学文理学院,新疆阿拉尔843300)摘要本文给出n阶矩阵A的全部不同的特征根为三个或三个以上的分解定理,并在此基础上给出这一类n阶矩阵m次方幂的通项公式。关键词n阶矩阵;m次方幂;通项公式中图分类号:Q151.21文献标识码:BDiscussionontheCurrentFormulaofmPowersofan
2、n×nMatrixXieXiaozhongDuXiaoqin(CollegeofArtsandScience,TarimUniversity,Alar,xingjiang843300)AbstractProofantheoryaboutann×nMatrixthathasonlythreedifferenteigenvaluesandsumupthecurrentformulaofthissortofMatrix.Keywordsn×nMatrix;mpowers;currentformula[1]对于矩阵A的全部特征根相等的情形,文给可逆矩阵P
3、,使得出其n阶矩阵的特特征根相等的m次方幂的通项λ1I1[2]公式。文给出了全部不同大特征根为两个的情-1A=Pλ2I2P形。本文给出另一种形式的情形,即A的全部不同λ3I3的特征根为三个或三个以上的分解定理,并在此基础上给出这一类n阶矩阵m次方幂的通项公式。I1O2定义:设■为一n阶矩阵,若■=■,则称■为λ1I2+(λ2-λ1)I2+幂等矩。-1I3O=PP容易证明下面的引理成立。2O引理矩阵■=■的充分必要条件是存在可(λ3-λ1)O逆矩阵P,使得-1I3P■P=diag(1,1,...,1,0,0,...0),或-1P■P=diag(0,
4、0,...,0,1,1,...1)成立。O-1定理(分解定理)设λ1,λ2,λ3是矩阵A的全部=λ1In+(λ2-λ1)PI2P不同的特征根,则A可以对角化的充分必要条件是O存在幂等矩阵■1,■2满足■1■2=■2■1=0,使O得A=λ1I+(λ2-λ1)■1+(λ3-λ1)■2。-1+((λ3-λ1)POP证明必要性设A可以对角化,则存在I3①收稿日期:2004-09-03作者简介:谢小忠(1975-),男,助教,主要从事数学教学与研究工作。90塔里木大学学报第17卷-1-1=λ1In+(λ2-λ1)■1+(λ3-λ1)■2PAP=λ1I+(λ
5、2-λ1)P■1P+(λ3--1-1-1这里λ1)P■2P=λ1I+(λ2-λ1)T(P1■1P1)T+-1-1O(λ3-λ1)T(P1■2P1)T-1■1=PI2P,-1O-1-1由P1■2P1=,T(P1■2P1)TOIr-1OT1OT1O-1==■2=POP则显然有■1,■2为幂IrIrIrIrI3On-r-ri等矩阵,且有■1■2=■2■1=O。=Or1充分性IrA=λ1I+(λ2-λ1)■1+(λ3-λ1)■2,-1-1T(P1■1P1)T由■2为幂等矩阵,故存在可逆矩阵P1,使OO-1C=P-1T1D11T11■2P1=I==rIr1
6、IrOrIr-1Or记D=P1■1P1,则由■1■2=■2■1=O得D11D12In-r-r1CD=DC=O,设D=-1D21D22即PAP=λ1Ir1OOD11D12OOIr则CD===OOIrD21D22D21D22On-r-r1D11D12OOOD12+(λ2-λ1)Ir1DC===OD21D22OIrOD22Or则有D12=O,D21=O,D22=OOn-r-r1D11O+(λ3-λ1)Or即D=,1OOrIr2-12-12D=(P■1P)=P■1P=Dλ1In-r-r1故D为幂等矩阵,=λ2Ir,证毕。212D11OD11OD11O即有
7、D===λ3IrOOrOOrOOr定理若λ1,λ2,λ3是矩阵A的全部不同的特D11O2=D故D11=D11,即D11为幂等矩阵。征根,且A满足A=λ1I+(λ2-λ1)■1+(λ3-OOrλ1)■2,■1,■2为幂等矩阵,满足■1■2=■2■1Ommmmm故存在可逆矩阵T-1=O,则通项公式A=λ1I+(λ2-λ1)■1+(λ31,使T1D11T1=Ir21m(λ1+λ3)A-A-λ1λ3I-1-λ1)■2,其中■1=(λ,T2-λ1)(λ3-λ2)1-1T1D11T1记T=,则TDT==2IrOr■(λ1+λ2)A-A-λ1λ2I2=(λ3-
8、λ1)(λ2-λ3)O现举一例以作说明Ir1-120-2Or-340-210例已知A=,求A记P=P1T,则有对A=λ1I+(λ2-λ1
