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1、2009年第11卷第6期巢湖学院学报No.6.,Vol.12.2009总第99期JoumalofChaohuCollegeGeneralSerialNo.98N阶矩阵方幂的求解方法戴泽俭（巢湖学院数学系安徽巢湖238000）摘要：求矩阵的方幂是矩阵理论中一项很重要的内容,在工程技术和很多应用矩阵的学科中有着很广泛的应用.通常是将求一般矩阵的方幂转化为求对角矩阵的方幂.然而转化为求对角矩阵的方幂比较困难.本文通过实例给出了一般矩阵的方幂的几种常用求法.关键词：矩阵；对角矩阵；方幂；相似中图分类号：O151.21文献标识码：A文章编号：167
2、2-2868(2009)06-0124-04计算n阶矩阵A的方幂问题在数学的很多领域中有着重要的应用，对角矩阵的方幂一般比较好求，通过求出对角矩阵的方幂常常可以简洁的求出A的方幂.本文探讨矩阵方幂的几种常用求法.1对于秩为1的方阵A，可将A分解成一个列向量与行向量的乘积，利用矩阵乘法的结合律求出n.An-2-2-2nnn例1.设A=-2-2-2，求An.nnnn-2-2-2nnn-2nnn解A可分解为A=n-2n(1,1,1)nn-2nn故n-2nn-2nn-2nn-2nnnnnnnnnAn=n-2n[(1,1,1)n-2n][(1,1,
3、1)n-2n][(1,1,1)……n-2n][(1,1,1)nnnnnnnn-2-2-2-2nnnnnnnnn-2nn-2nn-2-2-2nnnnnnn=n-2n(-6)(-6)……(-6)(1,1,1)=(-6)n-1n-2n(1,1,1)=(-6)n-1n-2-2-2nnnnnnn-2-2-2-2-2nnnnnn.收稿日期:2009-08-18基金项目:巢湖学院自然科学基金资助项目(项目编号:XLY-200824)作者简介:戴泽俭（1981-),男，安徽安庆人。讲师，研究方向:代数。1242当方阵A可对角化时，可通过求与A相似的矩阵Λ
4、的方幂来求An.而实对称矩阵一定可以对角化，故对于实对称矩阵一定可以用此法来求.λ11-1λλλ例2．已知矩阵A＝λ-24-2λ，求A5.λλ-220λλ解A的特征多项式λ-1-112λE-A=2λ-42=(λ-1)(λ-2),2-2λ故A的全部特征值为λ1=1，λ2=λ3=2对于λ=1求解齐次线性方程组(E-A)x=0，得出属于1的一个特征向量α=(1,2,2)T.11对于λ=λ=2，求解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得出属于2的两个线性无关的特征向量α=(1,1,0)T,232T.这样，记α3=(-1,0,1)λ11-1λλ1λλ
5、λλλP=(a1,a2，a3)=λ210λ，Λ=λ2λλλλλ2012λλλλ则有-1PAP=Λ,于是-15-1-1……PΛP-15-1A=PΛP,A=PΛPPΛP=PΛPλ11-1λλ1λλ1-11λλ131-31λλλλλ5λλλλ=λ210λλ2λλ-23-2λ=λ-4294-62λλλλλλλλλ201λ5λ-22-1-6262-30λλ2λλλλλλ3复数域上任意矩阵都相似于一若尔当标准型，若尔当标准型为准对角矩阵.故对于不能对角化的矩阵，可通过求它的若尔当标准型的方幂从而求出矩阵的方幂.此法具有一般性，缺点是当较大时，求若尔当
6、型矩阵的方幂较为麻烦.λ-1-26λλλ例3．已知A=λ-103λ,求An.λλ-1-14λλ解先求出A的若尔当标准型，求对λE-A进行初等变换.λλ+12-6λλ0-λ+1-λ2+3λ-2λλ100λλ100λλλλλλλλλλE-A＝λ1λ-3λ→λ0λ-1-λ+1λ→λ0λ-1-λ+1λ→λ0λ-10λλλλλλλλλ11λ-411λ-40-λ+1-λ2+3λ-200(λ-1)2λλλλλλλλλ100λλ-112λλλλλ可见A的若尔当标准型是J=010,设矩阵P满足P-1AP=J,求出一个P=111,λλλλλλλλλ011λλ
7、011λ则125n-1A-112AA100AA-112AA-112AA100AA01-1AAAAAAAAAAAAAAn=PJnP-1=111010111=111010-1-13AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA011AA011AA011AA011AA0n1AA11-2AA1-2n-2n6nAAA=-n1-n3nAAAAA-n-n3n+1A4某些特殊的矩阵可以写成两个较为简单的矩阵之和从而求出它的方幂.ab例4．已知A＝AAn.，求Aba100110解A＝aAA2=E,故+bAA=aE+bD，其中D=AA,显然D011001
8、nn1n-12n-222nnnnA=(aE+bD)=aE+CabD+CabD+……+CbDnnnn2n-2213n-33n-1=(a+Cab+……)E+(Cab+Cab+……)Dnnn根据二项
