n阶矩阵的幂运算毕业论文

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1、大理学院本科毕业论文n阶矩阵的幕运算Thepoweroperationofn-ordermatrix学院：数学与计算机学院项目组成员：自己姓名指导教师:老师姓名专业：数学专业年级（班级）：起止日期：制表日期：年月曰摘要：一个77阶矩阵的幕运算是矩阵论中基本运算问题，在给定的矩阵的阶数较高时，计算量很大。本文针对该问题，结合实例介绍了数学归纳法、二项式展开法、乘法结合律方法、分块对角矩阵法、Jordan标准形法、最小多项式法及特殊矩阵法等多种方阵高次幕求解方法，为H阶矩阵的幕运算提供一个参照o矩阵的幕

2、；相似矩阵；分块矩阵；Jordan标准形；最小多项式；特殊矩阵；图论算法Abstract：Thepoweroperationofan-ordermatrixisafundamentaloperationinmatrixtheory.Whenthegivenmatrixhasahighorderwhichwillleadtoacomplexoperation.Onthisquestion,thispaperwillintroducemanymethodstofindthesolutionofhigho

3、rdermatrixcombinewithsomelivingexamples.suchasmathematicalincluction，multiplicationlawofassociation,binomialexpansionmethod,blockdiagonalmatrix,Jordanstandardform,minimumpolynomialsmethodandspecialmatrixwhichofferareferencetothepoweroperationofn-orderm

4、atrix.Keywords：Thepowerofmatrix；similarmatrix；partitioningofmatrix;Jordanstandardform;minimumpolynomials;specialmatrix;algorithmofgraphtheory引言11预备知识11.1矩阵的幕的概念及其运算律12〃阶矩阵A的高次幕的若干算法及应用举例12.1利用数学归纳法求解方阵高次幕12.2利用二项式展开法求解方阵高次幕22.3利用矩阵乘法结合律求解方阵高次幕32.4利用分块对

5、角矩阵求解方阵高次幕42.5利用标准形求解方阵高次幕52.6用最小多项式法求解方阵高次幕62.7特殊矩阵法求解方阵高次幕72.7.1对合矩阵72.7.2幕等矩阵82.8利用图论算法求解方阵高次幕92.8.1邻接矩阵9n个2.&2A"=的元素的意义93结束语10参考文献12致谢13引言矩阵理论是高等代数的主要内容之一。矩阵理论和方法对于图论的研究起了很重要的推动作用，同时也是数学及许多科学领域中的重要工具，它有着广泛的应用。掌握矩阵的运算及它们的运算规律是学习矩阵知识的一个重要环节。矩阵的幕运算以矩阵

6、的乘法运算为基础，而矩阵的幕运算是比较麻烦的，因此,不断寻找简便的算法便成为矩阵幕运算方面的重要课题。目前，对于矩阵高次幕的运算问题，有许多人进行过研究，本文在此基础上，以分类讨论的思想，系统全面地介绍了一般几阶矩阵及一些特殊矩阵的高次幕的求解方法。对简单矩阵的低次幕的求解可直接按矩阵乘法的定义求解，对秩为1的斤阶矩阵可考虑用矩阵乘法结合律方法求解，另外还有二项式展开法、分块对角矩阵法、一般的〃阶矩阵可采用Jordan标准形法、最小多项式等求解方法，以及特殊矩阵法（如：对合矩阵、幕等矩阵的高次幕求法

7、）、图论算法。诸方法为〃阶矩阵的幕运算提供一个参照。在实际应用中，可根据方阵的不同特征采用不同的计算方法以简化计算。1预备知识在矩阵的运算中，乘法是经常用到的一种运算。特别地，当一个矩阵为方阵时，可以定义矩阵与它自身的乘法运算，即矩阵的幕。定义（矩阵的幕）山设A是〃XH矩阵（72阶方阵），加是正整数，贝0称为人的加次幕。由方阵的幕的定义，显然有以下运算律：屮4'=4阳；（Ak）1=Akl；（AA）k=AkAk；Ak=Ak；04丁=（4丁，其中R,/为非负整数。2〃阶矩阵A的高次幕的若干算法及

8、应用举例2.1利用数学归纳法求解方阵高次幕该方法的思路是通过计算ASA?等，从中发现屮的元素的规律，再用数学归纳法证明。q1例1已知矩阵A二0A,000、1，试求(k为自然数).现假设屮二000则=Ak-A=0姑0010、A10八52A1、3A232、解：可求得0A222,A3=0233A2,0/007观察这些矩阵的规律可以看到，人2的第1行元素是(Z+1)2展开式的三项元素,而的第1行元素是(2+1)3展开式的前三项，由此推测，屮的第1行元素应该是(Z+1/的展开式