用方阵乘幂求和法求线性方程组的数值解

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1、万方数据第24卷第6期2008年12月大学数学COLLEGEMATHEMATICSV01．24，No．6Dec．2008用方阵乘幂求和法求线性方程组的数值解张志斌1，李世作1，青剑2(1．广西大学电气工程学院，南宁530004I2．中国海军91428部队，宁波315112)[摘要]介绍了一种新型的．不同于传统的雅克比或高斯塞德尔迭代法的，求解线性方程组的方阵乘幂求和法。并引入了方阵意义上求积分的龙贝格法．该算法成立须以方阵A为实阵，非奇异且主对角元素占优．该法较雅克比或高斯塞德尔迭代的计算量小。特别有助于求解大型线性方程组的问题．[关键词]雅克比迭代法}高斯塞德尔迭代法

2、；方阵的乘幂求和法；计算量[中图分类号]0241．6[文献标识码]C[文章编号]1672—145412008)06-0197—051引言求解线性方程组数值解的问题一直是工程科学中解决实际问题的核心过程之一，所以选择求解方法将是在各不同领域、不同计算精度、不同速度要求的必须步骤．传统的高斯塞德尔迭代中涉及到对方程组解的修正，并用修正后的值带入计算下一次的线性方程组的解，直到满足收敛条件．在此过程中高斯迭代基本上可以满足任意精度的要求并有较好的收敛效果．若求解使用优化方法中的共轭梯度法，则在系数方阵的条件数较大时，其收敛慢，效果较差，需要对系数方阵进行预处理．本文给出了求解

3、线性方程组的一种新方法——方阵乘幂求和法．该方法用于求解线性方程组，计算量较小．2雅克比和高斯塞德尔迭代法设线性方程组⋯口1“⋯口2”●’．：⋯Ⅱ_Zl上2：●Z月6lb2；b。(2．1)记式(2．1)为Ax=b，其中A为n阶非奇异系数方阵，x为行维解向量，b为刀维非零输入向量．将A分裂成A=D—L一【，，其中D=5．L=O口2l0口Hl口n2⋯0。．：●⋯0将式(2．1)第i个方程移项整理，得到等价方程组酽土a／／(沪善叩，，蚤。彬0、苎一．：：，，[收稿日期]2006—05—07．U一0口120；O万方数据198大学数学第24卷f．x‘0’=(zi∞，⋯，．r，’)

4、1’，卜。．(2．3)P¨5i1(6f-蚤纠·，萎。纠’)。记式(2．2)为X=Bx+f，其中B=I--D-1A=D～(L-q-U)，，=D～b．对方程组进行迭代将得到雅克比迭代公式(2．3)，其中z“’=(zr，z∥．⋯，z≯)丁为第k次迭代向量，但在该次迭代中工“十1’的第1～i一1个分量已经算出来．于是将其带入式(2．3)，得高斯一塞德尔迭代公式”。40’)r，；一∑口。z∥一∑口。z¨，J—IJ一计I／(2．4)一H”=Gx¨’+f·(2．5)其中G=(D—L)一U，，=(D—L)～b．很明显．高斯塞德尔迭代就是对方程组x=Gx+f进行迭代，其中G为迭代系数方阵

5、．根据迭代法收敛性可知式(2．5)收敛的充分必要条件是』D(G)<1．若线性方程组的系数方阵为强对角线元素占优阵，则式(2．5)迭代收敛．高斯塞德尔迭代法较雅克比迭代法对任意(n>2)矩阵阶数，一般都有较小的收敛次数．但在一些情况下，雅克比迭代收敛，而高斯塞德尔迭代不收敛．当不能较准确地估计线性方程组解的初值．且方程组阶数较大时，雅克比迭代法的代价非常大．3方阵乘幂求和法下面讨论一种方阵乘幂求和法．由雅克比迭代和高斯塞德尔迭代式可知￡‘o’=(工i∞，z；”，⋯，z二o’)7，工‘o’一(-4∞，z扩’，⋯，z：o’)丁，z“’=Bx佃’+，，工‘1’=Gx‘o’+，，

6、，x‘2’=Bx‘1’+，=B2工‘o’+(J+B)，，x‘2’=Gx“’+／=酽工∞’+(f+G)／，工‘3’=Bx‘2’+，=∥r‘。’+(J+B+舻)，，工‘3’=Gx‘2’+／=Gax‘o’+(J+G+铲)厂，；工h+1)=毋工“’+，=矽+1工‘0’+f∑Bkl，，工“+1’=Gx“’+／=G”+1工‘0’+f∑G‘1，7．、I一0，、●=O，(3．1)当B和G阵满足迭代收敛的充分必要条件lD(B)<1与』D(G)

7、方程组的解的形式一科”=∥+1一∞+(荟∥f0／≈(荟0∥／1，2Ⅳ，、●；、●=(3．2)工㈩”=矿1工(0’+(喜∥)，7≈(言∥)，7=T'f7·＼扣o，＼卜o／以雅克比迭代为例，类比单变量复化梯形积分法，把离散的求和近似表示成积分．令T=fF(￡)d￡，其中F(量)=B1雎，在方阵积分区域(o，1)进行行次二分，即将区域2。等分．瓦=虿1×生产×(B万o+B1)，(3．3)瓦=虿1天．T1-0灿号+口乎)+吾×字舢乎州)=虿1×字砌万。州)+专×字砌乎+口乎)：万1×To+L茅×B乎，(3．4)∞，1一h卵一I毗叫k∞¨r0r●●