“恒成立”问题的几种转化途径

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1、20上海中学数学·2010年第1～2期“恒成立"问题的几种转化途径200234上海师范大学07级教育硕士上海市松江二中张晶在高中数学的学习过程中经常会碰到“恒分析：题目中出现了3z及9，故可通过换成立”的问题，学生往往会感到困难．因此教师元转化成二次函数型求解．要帮助学生领会问题实质，把握问题的思维特解法1(利用韦达定理)：点．实际上，“恒成立”问题的思维特点和解题的设3x—t，则t>O．故原方程有解，等价于关突破口就在一个“恒”字上，解决此类问题经常于t的方程t+(4+口)+4—0有正根．涉及到一次函数、二次函数的性质和图像，渗

2、透f△≥O‘着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方．．371+z2一一(4+a)>O，法，有利于培养学生的综合解题能力，在提高思l12：4>o维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．即2-16~0，．．因此也成为历年高考的一个热点．．{：主～，笔者通过具体问题的分析，探讨其几种转解得n≤一8．化途径．解法2(利用二次函数的图像)：即关于t的方程t0+(4+n)t+4=0有正一、一次函数型根，可设_厂()=t0+(4+a)f+4．给定一次函数一厂()一kz+b(k≠0)，若1。若△一0，即(4+口)2—16—0，解得口一0Y=

3、f()在[m，]内恒有f(z)>0，则有或a一一8．当n一0时，由，(￡)一(+2)0—0，得￡一一2O，符合题意．．。．n一一8．2。若△>0，即n<一8或a>O时，‘．。厂(0)一财有．4>0，故只需对称轴一>0，即n<一4．．·．n例1若不等式2z一1>m(X2—1)对一切mE[一2，2]都成立，求实数的取值范围．<一8．分析：在不等式中出现了两个字母：及m，综上可得n≤一8．关键在于该把哪个字母看成变量，另一个作

4、为三、变量分离型常数．显然可将m视作自变量．令，(m)一(z0—1)m一2x+1，则上述问题即可转化为一次函数若在等式或不等式中出现两个变量，其中一厂(m)在[一2，2]内函数值小于0恒成立的问一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所题．考察区间端点，只要，(一2)<0且厂(2)<0求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于即可，解得z∈(V~--1等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化，)．，，成函数的值域或最值问题求解．如果不等式厂(z)>M对属于某个区间的二、二次函数型一切自变量都成立，那么只要-厂()在这个区若二次函数Y—

5、ax+bx+C(a≠0，z∈R)间上的最小值大于M即可，即_厂(z)i>M；同样如果不等式厂()

6、第1～2期2，￡+4—0在(0，+c>o)有解也可利用变量分离法．解：根据题意，对任意的z∈R，都有厂(z)一因为￡≠0，所以可将t0+(4+n)+4—0写，(一)．即sinx+acosz—sin(y一z)+nc。s成a一一(t+÷+4)，原问题就转化为求函数‘(号一z)一c。s+asinz．也即(口一1)(cosz—口：厂(￡)的值域．．’t>O．‘．￡+÷≥4．。．口≤一8．从sinx)对任意z∈R都成立，所以只能n—lI解答过程可以看出，用变量分离解题，运算过程五、把不等式恒成立问题转化为函数图像问题比较简捷．例3已知a，b

7、，C分别是△ABC中A、不等式，(z)>g(z)对任意∈M都成立，B、C的对边，且a，b，C成等比数列．问：当m相当于函数一，()的图像在区间M上都在函为何值时，不等式m+sin(A+C)一cosB<数—g(z)图像的上方，然后从图像中寻找条1件，得出结果．2~／m+．to恒成立?例5若不等式logdz>sin2(口>O且n≠1)分析：本题中不等式的两边都有变量m，若对于任意∈(o，÷]都成立，求a的取值范围．直接转化为求函数的最值问题，则不太容易解决．这时就需要先对不等式进行化简变形，把含解：作出函数一sin2x的图像．有m的项

8、全部放在不等号一边，另一边看成关。．‘在z∈(o，÷]，函数Y—logz的图像在于z的函数．解：’．’a、6、C成等比数列，．’．b2一ac，．‘．cosB函数Y—sin2x的图像的上方．．。．O