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1、几种不同类型恒成立问题解法探析【摘要】在指导高三学生复习备考的过程中，学生在面对各种不同的恒成立问题时经常会感到很困惑，不知道用哪种方法好，本文针对几种常见的恒成立问题的解法进行了总结，并结合实例进行了阐述。【关键词】恒成立；存在；最值；策略类型一、一边是f(X)另一边是常数a,即定义在区间a,b上的函数，f(x)Wa恒成立(或者f(x)Na恒成立)策略：f(x)$a恒成立?fmin(x)上a,f(x)Wa恒成立?fmax,(x)Wa,把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存在最值，可求出f(x)的范围，
2、问题同样可以解出。例1.已知函数f(x)=ax41nx+bx4-c(x>0)在x=l处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.(I)试确定a,b的值；(II)讨论函数f(x)的单调区间；(III)若对于任意x>0,不等式f(x)2-2c2恒成立，求c的取值范围。分析：不等式f(x)2~2c2恒成立，可以转化为fmin(x)2-2c2解：(I)(过程略)a=12,b=-3.(II)(过程略)函数f(x)的单调减区间为(0,1),函数f(x)的单调增区间为(1,+8).(III)由(II)可知，函数f(X)在
3、X=1处取得极小值f(1)=-3-c,此极小值也是最小值•要使f(x)三-2c2(x〉0)恒成立，只需-3~cW-2c2，解得(3$或cW~l.综上可得：C的取值范围为(-8,-1]U[,+°°)类型二、一边是f(X)另一边是g(x),且x的范围一致。即定义在区间a,b上的函数f(x),g(x),f(x)Wg(x)恒成立(或者f(x)(x)恒成立).例2：已知函数f(x)=x21n(ax)(a>0).若f(x)Wx2对任意的x>0恒成立，求实数a的取值范围。解：f，(x)=2xln(ax)+xWx2(a>
4、0,x>0)即In(ax)W(xT),即aW,即aW对任意x>0恒成立。令h(x)=(x>0),则h(x)二xW(0,2)时h，(x)0,h(x)递增，故h(x)的最小值为h(2)二故aW,又a〉0,所以0类型三、一边是f(xl),另一边是g(x2),对任意的xl^a,b,存在xWc,b,使得f(x)Wg(x)恒成立。解题策略：分别求出f(x)在区间a,b上的最大值f(x),g(x)在区间c,b上的最大值g(x),只需f(x)g(x)即可例题：已知函数f(x)二lnx-ax+T(a^R)(1)当aW时，讨
5、论f(x)的单调性(2)设g(x)=x2~2bx+4,当&二时，若对任意的xlW(0,2),存在x2ei,2,使得f(xl)(x2),求实数b的取值范围。解：(1)解法略。(2)函数f(x)=lnx-x+-l(aeR),(x>0),f(x)二一一二,?.f(x)在(0,1)上递减，在(1,2)上递增，・・・f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)•.•对任意的Xe(0,2),存在x£l,2,使f(xl)2g(x2)成立？f(x)在(0,2)上的最小值三g(x)在1,2上的最小值，即-2g(x)min,xW
6、1,2Vg(x)二x2-2bx+4•I当bWl时g(x)min=g(1)=5~2b,由-$5-2b得到b三与bWl矛盾当12时，g(x)min=g(2)=8~4b,由-28-4b得到bM综上，b的取值范围是b^o【参考文献】[1]夏桂芳.不等式恒成立与有解问题辨析.中学数学(高中)，2011,4.[2]张亮•构造函数证明不等式•中学教研，2012,2.
