正交异性复合材料板_型三裂纹尖端场分析_王丽娟

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1、第36卷第3期太原科技大学学报Vol．36No．32015年6月JOUＲNALOFTAIYUANUNIVEＲSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGYJun．2015文章编号:1673－2057(2015)03－0233－05正交异性复合材料板Ⅰ型三裂纹尖端场分析王丽娟，张雪霞，韩桂花(太原科技大学应用科学学院，太原030024)摘要:研究了正交异性复合材料板三裂纹的平面问题。通过复合材料断裂中的力学模型，将此问题归结为一类偏微分方程的边值问题，构造保角映射，将均匀分布三裂纹映射为复平面上

2、的平行周期裂纹，通过引入适当的westergaard应力函数，采用复变函数方法和待定系数法对复合材料Ⅰ型平行周期裂纹尖端的应力场进行了力学分析。最后再利用该保角映射的逆变换，将平行周期裂纹尖端的应力场变换到原均匀分布三裂纹的应力场，得到了远场受均匀分布载荷作用下的应力场和位移场的解析解。研究结果为结构和材料的强度设计提供了有意义的参考。关键词:正交异性板;均匀分布三裂纹;保角映射;westergaard应力函数;复变函数中图分类号:O346．1;TB330．1文献标志码:Adoi:10．3969/j．issn．1673－2057．2015．03．015近年来，学者对多裂纹尖端场问题作了大量研

3、究。20世纪80年代，ChenYZ研究了无限板上多裂纹［1］的奇异积分方程，计算得到了Gk(－k)值和Gk(k)值。HuangJY和SoH确定了多裂纹的动态应力强度［2］因子。到了20世纪90年代，HanXL和WangTzuchiang提出了对于张开型和闭合型多裂纹的一种普遍［3］解法。WangLH和AtluriSN用Schwartz-Neumann交替的方法研究了在同一直线上混合边界条件的多［4］个裂缝问题。进入21世纪，HejaziAA采用错位技术研究了冲击载荷下半平面的多裂纹问题，得到了应［5］力强度因子。DongQB研究了半平面下的多裂纹问题，提出了一种优化解决方案，得到了裂纹之间相

4、互［6］影响的关系。目前，仅得到了理想模型和简单的边界条件上的应力强度因子的解析解，因此，寻求更好地反应实际裂纹分布的多裂纹尖端场的解析解显得尤为重要。本文研究了三裂纹在远场均匀分布载荷作用下的应力场问题，得到了Ⅰ型三裂纹尖端附近的应力强度因子和应力场的解析表达式。所得结果对于复合材料断裂理论研究具有重要意义。1力学模型Ⅰ型三裂纹问题的力学模型:设无限大线弹性正交异性纤维增强复合材料板，2个坐标轴平行于正交异性体的材料弹性主方向，复合材料板上的裂纹长是l，裂纹尖点距离坐标原点分别是h和l+h的均匀分布三裂纹，在远场受均匀分布拉应力σ作用，如图1所示。裂纹尖端的应力场问题归结为下列偏微分方图1

5、三裂纹图2周期平行裂纹程的边值问题:Fig．1ThreecracksFig．2Cycleparallelcracks收稿日期:2014-12-19基金项目:太原科技大学博士启动资金(20122005);太原科技大学研究生科技创新项目(20125027)作者简介:王丽娟(1989－)，女，硕士研究生，主要研究方向为常微分方程及其复合材料断裂复变方法。234太原科技大学学报2015年444UUU［7］ìb224+(2b12+b66)22+b114=0ïxxyyïy→∞∶τxy=0，σy=σïïí(1)ïy=－槡3x，(－槡3(l+h)≤x≤－槡3h)∶τxy=0，σy=022ïïï

6、îy=槡3x，(－槡3(l+h)≤x≤－槡3h)∶τxy=0，σy=022其中U为应力函数，σ为应力，b11，b12，b22，b66为弹性主方向的柔度系数。2Westgaard应力函数由文献可知，构造一个保角映射函数，将数学平面上的简单边界保角映射到物理平面上包含三裂纹的无限大平面，是复变函数法求三裂纹问题时的关键。为此，我们构造如下保角映射函数:11πlnh+ln(l+h)+i1443z=lnw－(2)42此映射将w(=ξ+iη)平面(物理平面)上带均匀分布三裂纹的无限大平面(如图1)保角映射到z(=x+iy)平面(数学平面)上的周期平行裂纹(如图2所示)。在z平面上选取Westergaa

7、rd应力函数:é2πzjùsinhêωúUj=σêú，(j=1，2;n=－1，0，1)(3)ê22πzj22π(a+nωi)úsinh－sinhë槡ωωû111π其中，a=(ln(h+1)－lnh)，ω=2446当x→∞，y→∞∶Uj=σ(对固定的n)éisinh2πxùêωú当－a＜x＜a，y=nω(n=－1，0，1):Uj=－σ(4)êúê22πa22πxúësinh－sinhû槡ωω情形1:判别式△＞0