一个世界数学团体锦标赛试题的多向开发

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1、第11期李盛，等：一个世界数学团体锦标赛试题的多向开发·47·一个世界数学团体锦标赛试题的多向开发●李盛(衢州市第一中学浙江衢州324000)●杨樟松(衢州市第二中学浙江衢州324000)●李世杰(衢州市教育局教研室浙江衢州324002)首届(2010年)世界数学团体锦标赛青年组个，()厂()，)>2y)>÷)铮<1．人赛第3轮的第1题为：设，Y是正实数，且满足类似结论1，可得以下结论：结论2设，Y是正实数，且满足(41+一+1)(l+)，一Yq-1)=2，则xy=(一+1)(碍一Y+1)<2，文献[1]对此题的演变作了有意义的探究，我则xy>1．们读后很受

2、启发．笔者利用文献[2]和文献[3]中结论3设，Y是正实数，且满足研究区域图形的方法，对此题作了进一步的开发．(／1r一+1)(碍一Y+1)=2，1将条件中的等式改为不等式则xy=1．问题1设，Y是正实数，且满足结论4设，Y是正实数，且满足(√1+一+1)(41+Y一Y+1)>12，(1)(一+1)(碍一Y+1)>2，则xy需满足什么条件?则xy<1．分析设戈)=、／1—+1(∈R)，即结论1～4可推广为：结论5设a，b是正常数，，Y是正实数，且满)“(xcR~)，足易知)是减函数，且)>1．(一+0)(一Y+6)>~2ab，则≤ab．当∈R时-＼上X)=，

3、注意到结论6设，Y是正实数，且满足(~／1+一+1)(,／1++一1)=2x，(、／=_r一+口)(、／呵一Y+6)<2ab，则xy>ab．即÷)=2，从而不等式(1)可变为结论7设，Y是正实数，且满足if(Y))÷)，(、／一+n)(一Y+6)=2ab，则xy=ab．故y)÷)，即y≤，从而≤1．结论8设口，b是正常数，，Y是正实数，且满足由此得到：结论1设，Y是正实数，且满足(、／=_一+口)(、／研一Y+6)>2ab，(41+一+1)(,／1+Y一Y+1)≥2，则xy

4、)=厢一+1(∈R)，由2=3几个类似结论÷)，得(1)局部字母变换．在不等式(1)的条件中，局部交换，Y，得if(y)<2y)<)>1；问题2设，Y是正实数，且满足(+。一Y+1)(、／／1+)，一+1)1>2，)=2y)=÷)：1；则与1的大小关系如何?·48·中学教研(数学)2014丘分析当，Y是正实数时，作出不等式≤1的解集区域，用(图1中向左下方倾斜的线段标出的阴影区域I在第一象限部分)表示；不等式(~／l+一Y+1)(~／l+。一+1)≥2的解集区域用G(图1中向右下方倾斜的线段标出的阴影区域Ⅱ在第一象限部分)表示．由图1可知GF，从而得到结论9

5、．34结论ll设，Y是正实数，且满足(厢一+)(一÷+-)则≤1．注(1)当，Y是正实数时，作出不等式xy≤l的解集区域，用F(图4中区域I在第一象限部分)表示；不等式图1图2结论9设X，Y是正实数，且满足(一1y+·)(—1+)≤2(1+一Y+1)(,／1+Y一+1)≥2，的解集区域用G(图4中区域Ⅱ在第一象限部分)则≤1．表示．由图4可知GF，从而得到结论12．猜想1设，Y是正实数，n是大于1的整数，结论12设，Y是正实数，且满足且满足(一+)(孵一÷+·)(、／1+一Y+1)(~／1+Y一+1)I>2，则’，≤1．则)，≤1．注当，Y是正实数，且／／,

6、=3时，作出不等式(2)当，Y是正实数时，作≤1的解集区域，用F(图2中区域I在第一象限出不等式≤l的解集区域，用F(图5中区域I在第一象限部部分)表示；不等式(、／／l+。一，，+1)(~／1+Y一分)表示；作出不等式+1)>12的解集区域用G(图2中区域Ⅱ在第一1、象限部分)表示．由图2中可知G，F之间没有包含(一寺)’图5关系，猜想1不成立，但以下结论成立：结论lO设，Y是正实数，且满足(一÷+1)≤2(,／1+。一Y+1)(~／l+Y一+1)>12，的解集区域用G(图5中区域Ⅱ在第一象限部分)若≤1，则+y≤2．表示．由图5中可知GC_F，从而得到结

7、论13．在问题1中再作局部变换一，一)，，“≥”结论l3设，Y是正实数，且满足改为“≤”，得(一专+·)(一÷+·)<2'问题3设，Y是正实数，且满足则xy≤1．(一÷+-)(一÷+·)猜想2设，Y是正实数，n是大于l的整数，且满足则与1的大小关系如何?分析当，Y是正实数时，作出不等式巧≤1(一+t)(可一÷+)<2’的解集区域，用F(图3中区域I在第一象限部分)则xy≤I．表示；不等式结论11～l3说明当n=2，3，4时。猜想2成(一+·)(一÷+-)≤2立．设)=,／l+一+l，ER，由结论1～4，的解集区域用G(图3中区域Ⅱ在第一象限部分)自然想到以下

8、猜想：表示．由图3知GF，从而得到结论11．猜想3设