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1、第27卷第1期数学理论与应用Vol.27No.12007年3月Mar.2007MATHEMATICALTHEORYANDAPPLICATIONSX时间序列中自相关与偏相关函数分析于宁莉易东云涂先勤(国防科学技术大学数学与系统科学系,长沙,410073)摘要相关函数表现出时间序列中任意两个值之间的相关性是如何随着时间间隔而改变的.自相关函数刻画了时间序列相邻变量之间的相关性,偏相关函数则是排除了其它中间变量的影响,真实地反映两个变量之间的相关性,并且二者紧密相连.同时两个相关图所反映的信息在时间序列分析各个方面发挥着关键
2、作用.关键词自相关函数偏相关函数时间序列AnalyzeAuto-correlationsandPartial-correlationsFunctionintimeSeriesYuNingliYiDongyunTuXiaoqin(NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha,410073)AbstractCorrelatiovefunctionreflactshowdoesthecorrelationoftheeverytwovalueinthetimeseriesanal
3、ysisverywiththetime-distance.Auto-correlationsfunctiondepictsthecorrelationoavalueandthenearbyoneinthetimeseries,butpartial-correlationsfunctioneliminatestheaffectoftheothers.Besides,theyhavenearestconnection.Thetwocorrelativefunctionsreflectmoreinformations,the
4、yallplaykeyeffectsineveryaspectoftimeseriesanalysis.Keywordsauto-correlationsfunctionpartial-correlationsfunctiontimeseriesanalysis1自相关和偏相关函数的定义、推导方法定义1设已有零均值平稳序列{et}的一组观测数据e1,e2,⋯,en,则对rk的有偏估计为:∧n-k1rk=∑etet+k,{rk}称为样本自协方差函数,则样本自相关函数为:nt=1∧∧∧∧{Qk},Qk=rkör0,k=0,
5、1,2,⋯.定义2对于平稳时间序列{ek},k阶偏相关函数定义为et,et-k关于et-1,⋯,et-k+1的条件相关函数E(etet-kûet-1,⋯,et-k+1)Ukk=Qeeûe,⋯e=,tt-kt-1t-k+1Var(etûet-1,⋯,et-k+1)X朱健民教授推荐收稿日期:2006年6月8日第1期时间序列中自相关与偏相关函数分析55其中E(õûet-1,⋯,et-k+1)是关于条件密度函数f(et,et-kûet-1,⋯,et-k+1)的条件期望.偏相关函数难以由定义直接计算得到,但是,由公式推导可以发现
6、,k阶偏相关函数即是按k阶自回归模型对et作线性最小方差估计时的最后一项系数.由此可以得到计算偏相关函数的递推公式:kQk+1-∑Qk+1-jUk,jj=1Uk+1,k+1=k,(1)1-∑QjUk,jj=1Uk+1,l=Uk,l-Uk+1,k+1Uk,k+1-l,l=1,2,⋯,k(2)只要一个AR(p)过程具有无限伸延的自相关函数,那么,就可由自相关函数的p个非零函数来描述自身的特性,偏相关函数就是基于这一事实的一种描述手段.对任何平稳过程,都可以由偏相关函数Ákk,当然也都是作为过程自相关Qk的函数,但是,对于A
7、R(p)过程有:当k>p,时Ákk=0,这是只适合于刻划p阶AR过程的明显特征.定义的量Ákk称为过程{zk}滞后为k的偏相关,这是由于Ákk事实上用来度量zt和zt-k之间在扣除了中间变量zt-1,zt-2⋯,zt-k+1的影响之后的相关(或是zt和zt-k之间未被zt-1,zt-2,⋯,zt-k+1所解释的相关).可以定义为:∧∧Ákk=corr[zt-zt,zt-k-zt-k].例如,我们求出Á11=corr[zt,zt-1],而∧∧Á22=corr[zt-zt,zt-k-zt-k]2U2-2Q1C1+Q1C0=
8、221ö2[(C0+Q1C0-2Q1C1)]2Q2-Q1=2.1-Q12自相关和偏相关函数反映的信息211检验某一时间面序列是否平稳平稳过程的自相关系数和偏自相关系数都会以某种方式衰减趋于0,前者测度当前序列与先前序列之间简单和常规的相关程度,后者是在控制其它先前序列的影响后,测度当前序列与某一先前序列之间的相关程度,如果某一时间
